Упражнения. 287. Найдите критические точки функции, график которой изо­бражен на рисунке 109

287. Найдите критические точки функции, график которой изо­бражен на рисунке 109.

288. Найдите критические точки функции:

^а) f (^х) — 4 —2х + 7л:²; б) / (*) = 1 + cos 2х;

в) f (х) — х — 2 sin х\

Рис. 110

289. Найдите точки максимума и минимума функции /, график которой изображен на рисунке 110. Существует ли производ­ная в соответствующей точке? Если существует, то чему рав­но ее значение?

290. Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие — точками ми­нимума:

a) f (х) = 5-fl2x —х³; б) f {х)=9 + 8х²— х⁴;

в) f (х) = 2х³-f Зх² — 4; г) f (*) = -£-л:⁴ — х².

291. Докажите, что функция f не имеет критических точек:

а)!(х) = л1х\ б) /(x) = tg х;

в) f(x) = 3x — 7; г) f (л:)=Зл:⁵2лг.

Найдите критические точки функции / (292—293).

292. a) f {х) = sin² х —cos х; б) f (х) — 2х + -4-;

в)/ (х) =10 cos х-f- sin 2х — 6х; г) / (х) = х³ —4х+8.

{

—х —2 при х^ — 1, х при — 1 <х< 1,

2— х при х ^ 1;

(х + 6 при х< — 2,

В) f(*)-=4+b г) \ X² при

ч 6 —х при х>2.

294. Постройте эскиз графика функции, обладающей следующими свойствами:

а) D (/) = [— 3; 5]; f'(х)>0 при *6 (—3; 1), /'(х)<0 при х 6(1; 5) и Г (1) = 0;

б) D(f)=[-3;5]; f'(х)< 0 при *6 (-3; 1), f'(х)> 0 при *6 (1; 5) и функция f не имеет производной в точке 1;

в) D (/) = [а; Ь\ х\ — точка минимума, хч — точка максиму­ма функции, / (а) > / (6);

г) D(/)=[a;fc]; х\ —точка максимума, хч— точка миниму­ма, f(a)=f(b).

295. Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстрему­мы. Постройте график функции:

а) f (х)=±-х⁴ — 8х²; б) f(x)=j~r;

в) [ {х) = 2х — -i-*³; г) f{x)=^x ~²^² -

24. Примеры применения производной к исследованию функций

Вы уже знаете (п. 4), что построение графика функции лучше начинать с ее исследования, которое состоит в том, что для дан­ной функции: 1) находят ее область определения; 2) выясняют, является ли функция f четной или нечетной, является ли периоди­ческой. Далее находят: 3) точки пересечения графика с осями координат; 4) промежутки знакопостоянства; 5) промежутки воз­растания и убывания; 6) точки экстремума и значения f в этих точках и 7) исследуют поведение функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю х.