Применения производной к исследованию функций

22. Признак возрастания (убывания) функции

В п. 6 вы видели, что одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убыва­ния. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.

Достаточный признак возрастания функ­ции. Если /' (х) >0 в каждой точке интервала /, то функция f возрастает на /.

Достаточный признак убывания функции. Если /' (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на /.

Доказательство этих признаков проводится на основании фор­мулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х\ и хг из интервала. Пусть Х|<Х2. По формуле Лагранжа существует чис­ло c6(xi; Хг), такое, что

(„

Число с принадлежит интервалу /, так как точки Х\ и хг принад­лежат /. Если /'(х)>0 для х£/, то f'(с)>0, и поэтому f (х\)с <Cf(xг) — это следует из формулы (1), так как хг — xi>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же /' (х)<;0 для х£/, то /' (с)<0, и потому f (xi)> / (хг) — следует из формулы (1), так как Х‘2 — Xi>0. Доказано убывание функции f на /.

V Наглядный смысл признаков ясен из физических рассужде­ний (рассмотрим для определенности признак возрастания).

Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент вре­мени t равна /'(t) (см. п. 21). Если /' (0>0 в каждый момент вре­мени из промежутка /, то точка движется в положительном на­правлении оси ординат, т. е. если t\ </2, то f (t\)<.f (/2). Это озна­чает, что функция / возрастает на промежутке I. А

О Пример 1. Найдем промежутки возрастания (убывания) и построим график функции f (х) = х^—х³.

Данная функция определена на множестве всех действитель­ных чисел. Из равенства f' (х)= 1 —Зх² следует, что /' (х)>0, если

1— 3х²>0. Решая

неравенство методом интервалов (рис. 101, а), получим, что Г(х)>0 на интервале(—\ -~=), и,

V д/З д/3 /

значит, на этом интервале f возрастает.

Аналогично /' (х)<С0 на интервалах^ — оо; —-^[15]—^ °°)«

поэтому на этих интервалах f убывает. Далее вычислим значе­ния f в точках —— и

На координатной плоскости отметим точки и i ^{и на}Р^исУ^ем проходящий через них график функции, воз­растающей на интервале^ —и убывающей на интервалах

(-°°^{; и}(^^: °°)^(рис- ¹⁰¹'^б)-

Из рисунка видно, что функция /, непрерывная в точках ——и

Уз

, возрастает на отрезке Г —-^т1 и убывает на промежутках

-уЗ L д/з д/3-J

Замечание 1. Если функция f непрерывна в каком-либо

из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоеди- _ + _ няют к этому промежутку (как точ-

знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.)

Знак можно определить, вычислив значение f' в какой-нибудь точке промежутка.

О Пример 2. Найдем проме­жутки возрастания (убывания) и построим график функции

[(x) = 2x-\-j_r.

Область определения данной функции — объединение промежут­ков (— оо; 0) и (0; оо); f\x)= 2-^-;

f' (л:) = 0 при х = 1. Точки 0 и 1 раз­бивают область определения функ­ции на три интервала (—оо; 0),

(0; 1) и (1; оо). Согласно замеча­нию 2 в каждом из них f' сохраняет постоянный знак. Знак про­изводной в каждом из этих интервалов отмечен на рисунке 102, а.

Следовательно, данная функция возрастает на интервалах (— оо; 0) и (1; оо). Поскольку f непрерывна в точке 1, то эту точку можно (в силу замечания 1) присоединить к промежутку, на ко­тором функция f возрастает.

Окончательно получаем, что f возрастает на промежутке (— оо; 0) н [1; оо). Далее, f' (л)<0 на интервале (0; 1), и поэтому (с учетом замечания 1) f убывает на промежутке (0; 1].

Точка 0 не входит в D ([), однако при стремлении х к 0 слагае­мое Л- неограниченно возрастает. Поэтому и значения f неограни­ченно возрастают. В точке 1 функция принимает значение 3.

Отметим теперь на координатной плоскости точку М (1; 3) и нарисуем проходящий через нее график функции, возрастающей на промежутках (—оо; 0) и [1; оо) и убывающей на промежутке (0; 1] (рис. 102, б).

Пример 3. Найдем промежутки возрастания (убывания) функции

f (х) = — 2х + sin х.

Функция определена на всей числовой прямой. Производная ее такова:

f' (х)= — 2 +cos х.

Поскольку I cos *|^1, легко получаем, что [' (х)СО для всех действительных х. Это значит, что функция f (х)=—2л:-|-sin х убывает на всей числовой прямой, ф

Упражнения

Найдите промежутки возрастания и убывания функций (279—281).

279. а) /(лг)=3-у-х; б) f(x)=-x ^[16] + 2*-3;

в) f(_x) = 4*-5; г) /(*) = 5х²-3*+1.

280. a) /(*) =—^- + \\ б) / (х)—х² (х — 3);

^в) / ^; f№^:=x3~^27х-

281. a) / (*)= 12* + 3*²— 2л:^[17]; б) /(*) = 4—*^[18];

в) f(x) = x(x²— 12); г) f(x) = ^r.

282. Постройте эскиз графика функции /\ удовлетворяющей ус­ловиям:

а) D (/)=[—2; 5J /'(*)>0 при *€(— 2; 5);

б) D(/)=[l; 6], rW<0 при *6(1; 3)U(3; 6), /'(3) = 0;

в) D(f)=[-2; 5], Г (х)>0 при х6(-2; 1)U(1; 5), f (1) = 0;

г) D (/)=[1; 6], /'(х)<0 при *6(1; 6).

23. Критические точки функции, максимумы и минимумы

Мы рассмотрели поведение функции на промежутках, где /' (х)>0 и /' (х)<0. Внутренние точки области определения функ­ции, в которых ее производная равна нулю или не существует, на­зываются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку толь­ко они могут быть точками экстремума функции (рис. 103 и 104). Сформулируем соответствующее утверждение, его называют тео­ремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма).

Н еобходимое условие экстремума. Если точ­ка хо является точкой экстремума функции f ив этой точке сущест­вует производная то она равна нулю: f'(x₀) = 0.

Рассмотрим случай /'(хо)>0. По определению производной

f(x)-f(x о)

отношение ^LL-^L—при х-*-хо стремится к положительному чис-

X — Хо

лу /' (х₀), а следовательно, и само будет положительно при всех х, достаточно близких к хо. Для таких х

f{x)—f{x₀) q X — Хо ’

и, значит, f(x)>f(xо) для всех х>хо из некоторой окрестности точки х₀. Поэтому х₀ не является точкой максимума.

Если же х<Схо, то /(х)</(хо), и, следовательно, хо не может быть и точкой минимума /.

Случай /'(х₀)< 0 разбирается аналогично.

Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке хо обращает­ся в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция име­ет экстремум. Например, производная функции / (х)=х³ обращает­ся в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 105).

До сих пор мы рассматривали критические точки, в которых производная равна нулю. Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует. (Отметим, что, например,

.

точка 0 для функции у=л/х не является критической: в ней произ­водная не существует, но она не внутренняя точка области опре­деления.) В этих точках функция также может иметь или не иметь экстремум.

О Пример 1. Рассмотрим функцию / (х) = |х| (рис. 106). Эта функция не имеет производной в 0. Значит, 0 — критическая точ­ка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.

Пример 2. Рассмотрим функцию f (х) = 2х -f- | х | (рис. 107). По графику видно, что в точке 0 эта функция не имеет экстремума. В этой точке функция не имеет и производной.

В самом деле, если предположить, что функция / имеет в точ­ке 0 производную, то f (х) — 2х также имеет производную в 0. Но f (х) —2х= |х|, а функция \х\ в точке 0 не дифференцируема (см. п. 18), т. е. мы пришли к противоречию.

Значит, функция f в точке 0 производной не имеет, ф

Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстре­мумов функции требуется в первую очередь найти ее критические точки. Но, как видно из рассмотренных примеров, вопрос о том, действительно ли данная критическая точка есть точка экстрему­ма, требует дополнительного исследования. При этом часто помо­гают такие достаточные условия существования экстремума в точке.

Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, a f' (х)> 0 на интервале (а; хо) и f'(x)< 0 на интервале (xq; b), то точка хо является точкой максимума функции f.

Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого при­знака: если в точке хо производная меняет знак с плюса на минус, то xq есть точка максимума.

Доказательство. Производная /' (х)>0 на интервале (а; *о), а функция / непрерывна в точке хо, следовательно (см. п. 22), функция f возрастает на промежутке (а; хо], и потому f(x)<cf(xо) для всех х из интервала (а; х₀).

На промежутке [х₀; Ь) функция f убывает (доказательство ана­логично), и потому /(х)</(х₀) для всех х из интервала (хо; Ь).

Итак, /(*)</(хо) для всех хфхо из интервала (а\ Ь), т. е. хо есть точка максимума функции f.

V Признак максимума имеет про­стой механический смысл. Мы мо­жем считать, что f (х) — это коорди­ната точки, движущейся по оси Оу, в момент времени х, a f' (*) — ско­рость точки в этот момент. По усло­вию скорость точки за промежуток времени, предшествующий л:₀, поло­жительна. Поэтому в течение этого времени точка движется в положи­тельном направлении, она поднима­ется по оси Оу до точки f (хо), т. е. f(x)cf(xo) при хСх₀. В мо­мент *о точка на мгновение «останавливается» (ее скорость в этот момент равна нулю или не определена), а затем начинает опус­каться по оси (по условию скорость /' (*) меньше нуля при *>*0), т. е. f (x)<f (хо). Итак, в окрестности хо имеем f (x)c f (х₀). Точ­ка хо — точка максимума. А

Признак минимума функции. Если функция f не­прерывна в точке хо, Г (х)<0 на интервале (а; х0) и /' (х)^>0 на интервале (х0; Ь), то точка хо является точкой минимума функ­ции /.

Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого при­знака: если в точке а:₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то Хо есть точка минимума.

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака максимума (полезно провести его самостоятельно).

О Пример 3. Найдем точки экстремума функции

f (х) = 3л: — л:³.

Производная этой функции, равная 3 — Зх², определена во всех точках и обращается в нуль в точках — 1 и 1. В точке — 1 произ­водная меняет знак с минуса на плюс (/'(*)•< 0 при хС— 1 и /'(*)> 0 при —1<*<1). В точке 1 производная меняет знак с плюса на минус. Пользуясь признаками максимума и минимума, получаем, что точка — 1 является точкой минимума, а точка 1 — точкой максимума функции f. График функции изображен на ри­сунке 108. ф