![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
22. Признак возрастания (убывания) функции
В п. 6 вы видели, что одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.
Достаточный признак возрастания функции. Если /' (х) >0 в каждой точке интервала /, то функция f возрастает на /.
Достаточный признак убывания функции. Если /' (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на /.
Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х\ и хг из интервала. Пусть Х|<Х2. По формуле Лагранжа существует число c6(xi; Хг), такое, что
(„
Число с принадлежит интервалу /, так как точки Х\ и хг принадлежат /. Если /'(х)>0 для х£/, то f'(с)>0, и поэтому f (х\)с <Cf(xг) — это следует из формулы (1), так как хг — xi>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же /' (х)<;0 для х£/, то /' (с)<0, и потому f (xi)> / (хг) — следует из формулы (1), так как Х‘2 — Xi>0. Доказано убывание функции f на /.
V Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).
Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна /'(t) (см. п. 21). Если /' (0>0 в каждый момент времени из промежутка /, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t\ </2, то f (t\)<.f (/2). Это означает, что функция / возрастает на промежутке I. А
О Пример 1. Найдем промежутки возрастания (убывания) и построим график функции f (х) = х^—х3.
Данная функция определена на множестве всех действительных чисел. Из равенства f' (х)= 1 —Зх2 следует, что /' (х)>0, если
1— 3х2>0. Решая
неравенство методом интервалов (рис. 101, а), получим, что Г(х)>0 на интервале(—\ -~=), и,
V д/З д/3 /
значит, на этом интервале f возрастает.
Аналогично /' (х)<С0 на интервалах^ — оо; —-[15]—^ °°)«
поэтому на этих интервалах f убывает. Далее вычислим значения f в точках —— и
На координатной плоскости отметим точки и i и наРисУем проходящий через них график функции, возрастающей на интервале^ —и убывающей на интервалах
(-°°; и(^: °°)(рис- 101'б)-
Из рисунка видно, что функция /, непрерывная в точках ——и
Уз
, возрастает на отрезке Г —-^т1 и убывает на промежутках
-уЗ L д/з д/3-J
Замечание 1. Если функция f непрерывна в каком-либо
из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоеди- _ + _ няют к этому промежутку (как точ-
знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.)
Знак можно определить, вычислив значение f' в какой-нибудь точке промежутка.
О Пример 2. Найдем промежутки возрастания (убывания) и построим график функции
[(x) = 2x-\-jr.
Область определения данной функции — объединение промежутков (— оо; 0) и (0; оо); f\x)= 2-^-;
f' (л:) = 0 при х = 1. Точки 0 и 1 разбивают область определения функции на три интервала (—оо; 0),
(0; 1) и (1; оо). Согласно замечанию 2 в каждом из них f' сохраняет постоянный знак. Знак производной в каждом из этих интервалов отмечен на рисунке 102, а.
Следовательно, данная функция возрастает на интервалах (— оо; 0) и (1; оо). Поскольку f непрерывна в точке 1, то эту точку можно (в силу замечания 1) присоединить к промежутку, на котором функция f возрастает.
Окончательно получаем, что f возрастает на промежутке (— оо; 0) н [1; оо). Далее, f' (л)<0 на интервале (0; 1), и поэтому (с учетом замечания 1) f убывает на промежутке (0; 1].
Точка 0 не входит в D ([), однако при стремлении х к 0 слагаемое Л- неограниченно возрастает. Поэтому и значения f неограниченно возрастают. В точке 1 функция принимает значение 3.
Отметим теперь на координатной плоскости точку М (1; 3) и нарисуем проходящий через нее график функции, возрастающей на промежутках (—оо; 0) и [1; оо) и убывающей на промежутке (0; 1] (рис. 102, б).
Пример 3. Найдем промежутки возрастания (убывания) функции
f (х) = — 2х + sin х.
Функция определена на всей числовой прямой. Производная ее такова:
f' (х)= — 2 +cos х.
Поскольку I cos *|^1, легко получаем, что [' (х)СО для всех действительных х. Это значит, что функция f (х)=—2л:-|-sin х убывает на всей числовой прямой, ф
Упражнения
Найдите промежутки возрастания и убывания функций (279—281).
279. а) /(лг)=3-у-х; б) f(x)=-x [16] + 2*-3;
в) f(x) = 4*-5; г) /(*) = 5х2-3*+1.
280. a) /(*) =—^- + \\ б) / (х)—х2 (х — 3);
в) / ; f№:=x3~27х-
281. a) / (*)= 12* + 3*2— 2л:[17]; б) /(*) = 4—*[18];
в) f(x) = x(x2— 12); г) f(x) = ^r.
282. Постройте эскиз графика функции /\ удовлетворяющей условиям:
а) D (/)=[—2; 5J /'(*)>0 при *€(— 2; 5);
б) D(/)=[l; 6], rW<0 при *6(1; 3)U(3; 6), /'(3) = 0;
в) D(f)=[-2; 5], Г (х)>0 при х6(-2; 1)U(1; 5), f (1) = 0;
г) D (/)=[1; 6], /'(х)<0 при *6(1; 6).
23. Критические точки функции, максимумы и минимумы
Мы рассмотрели поведение функции на промежутках, где /' (х)>0 и /' (х)<0. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции (рис. 103 и 104). Сформулируем соответствующее утверждение, его называют теоремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма).
Н еобходимое условие экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции f ив этой точке существует производная то она равна нулю: f'(x0) = 0.
Рассмотрим случай /'(хо)>0. По определению производной
f(x)-f(x о)
отношение LL-L—при х-*-хо стремится к положительному чис-
X — Хо
лу /' (х0), а следовательно, и само будет положительно при всех х, достаточно близких к хо. Для таких х
f{x)—f{x0) q X — Хо ’
и, значит, f(x)>f(xо) для всех х>хо из некоторой окрестности точки х0. Поэтому х0 не является точкой максимума.
Если же х<Схо, то /(х)</(хо), и, следовательно, хо не может быть и точкой минимума /.
Случай /'(х0)< 0 разбирается аналогично.
Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке хо обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции / (х)=х3 обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 105).
До сих пор мы рассматривали критические точки, в которых производная равна нулю. Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует. (Отметим, что, например,
![]() |
.
![]() |
точка 0 для функции у=л/х не является критической: в ней производная не существует, но она не внутренняя точка области определения.) В этих точках функция также может иметь или не иметь экстремум.
О Пример 1. Рассмотрим функцию / (х) = |х| (рис. 106). Эта функция не имеет производной в 0. Значит, 0 — критическая точка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.
Пример 2. Рассмотрим функцию f (х) = 2х -f- | х | (рис. 107). По графику видно, что в точке 0 эта функция не имеет экстремума. В этой точке функция не имеет и производной.
В самом деле, если предположить, что функция / имеет в точке 0 производную, то f (х) — 2х также имеет производную в 0. Но f (х) —2х= |х|, а функция \х\ в точке 0 не дифференцируема (см. п. 18), т. е. мы пришли к противоречию.
Значит, функция f в точке 0 производной не имеет, ф
Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремумов функции требуется в первую очередь найти ее критические точки. Но, как видно из рассмотренных примеров, вопрос о том, действительно ли данная критическая точка есть точка экстремума, требует дополнительного исследования. При этом часто помогают такие достаточные условия существования экстремума в точке.
Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, a f' (х)> 0 на интервале (а; хо) и f'(x)< 0 на интервале (xq; b), то точка хо является точкой максимума функции f.
Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке хо производная меняет знак с плюса на минус, то xq есть точка максимума.
Доказательство. Производная /' (х)>0 на интервале (а; *о), а функция / непрерывна в точке хо, следовательно (см. п. 22), функция f возрастает на промежутке (а; хо], и потому f(x)<cf(xо) для всех х из интервала (а; х0).
На промежутке [х0; Ь) функция f убывает (доказательство аналогично), и потому /(х)</(х0) для всех х из интервала (хо; Ь).
Итак, /(*)</(хо) для всех хфхо из интервала (а\ Ь), т. е. хо есть точка максимума функции f.
V Признак максимума имеет простой механический смысл. Мы можем считать, что f (х) — это координата точки, движущейся по оси Оу, в момент времени х, a f' (*) — скорость точки в этот момент. По условию скорость точки за промежуток времени, предшествующий л:0, положительна. Поэтому в течение этого времени точка движется в положительном направлении, она поднимается по оси Оу до точки f (хо), т. е. f(x)cf(xo) при хСх0. В момент *о точка на мгновение «останавливается» (ее скорость в этот момент равна нулю или не определена), а затем начинает опускаться по оси (по условию скорость /' (*) меньше нуля при *>*0), т. е. f (x)<f (хо). Итак, в окрестности хо имеем f (x)c f (х0). Точка хо — точка максимума. А
Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке хо, Г (х)<0 на интервале (а; х0) и /' (х)^>0 на интервале (х0; Ь), то точка хо является точкой минимума функции /.
Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке а:0 производная меняет знак с минуса на плюс, то Хо есть точка минимума.
Доказательство этого признака аналогично доказательству признака максимума (полезно провести его самостоятельно).
О Пример 3. Найдем точки экстремума функции
f (х) = 3л: — л:3.
Производная этой функции, равная 3 — Зх2, определена во всех точках и обращается в нуль в точках — 1 и 1. В точке — 1 производная меняет знак с минуса на плюс (/'(*)•< 0 при хС— 1 и /'(*)> 0 при —1<*<1). В точке 1 производная меняет знак с плюса на минус. Пользуясь признаками максимума и минимума, получаем, что точка — 1 является точкой минимума, а точка 1 — точкой максимума функции f. График функции изображен на рисунке 108. ф
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1566 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!