Проходящей через данную точку М графика функции f (253—254)

253. a) f{x) = x², М (— 3; 9); б) / (*) = •ух³-х, м(2;|-); в) f (х) = х³, М (— 1; — 1); г) f {х) = х²+ 2х, УИ(1;3).

254. a) f (х) — 2 cos х, б) f (х)——tg х, М (л; 0);

^в) f(x)= 1+sinx, М (зх; 1); г) /' (*)= — cos х, М (— я; 1).

5 Заказ 581 129

			в		б)

б)

Рис. 98

Напишите уравнение касательной к графику функции f в точ­ке с абсциссой х₀ (255—256).

255. a) х₀= — 1, х₀=1;

^B) f(x)=x² + 1. х₀ = 0, х₀ = 1; ^г) f (х)=х^[14] — 1, л:₀= — 1, *о = 2. 256. a) f{x) = 3sinx, А'о = у-, х₀ = л;; б) f(x) = tgx, х₀=~, х₀=-|-;

^в) f (*) = 1 +cos х, Хо —0, х₀ = у-;

^г) f (х)=—2 sin х, х₀=—у,х₀ = л.

Если точка Хо такова, что значения f (х₀) и f' (хо) нетрудно вычислить, то формула (1) позволяет находить приближенные значения f (х) при х, достаточно близких к х₀. Так, при вычисле­нии значения д/4,08 естественно взять в качестве Хо число 4, так

как 4,08 близко к 4 и значения f(x₀) = д/х^ и f' (х₀) = ¹ - при

2 д/Хо

х₀ = 4 найти нетрудно: f (4) = д/4 = 2, (4) = -^—=-^-. По форму-

2 д4 ⁴

ле (1) при Дх = 0,08 получаем:

д/4Д)8 «2 + -р 0,08 = 2,02.

О П р и м е р 1. Выведем из формулы (1) приближенную формулу

д^1 -(- Дх ~ 1 -(- у- Дх. (2)

Возьмем / (х)=д/х, х₀ = 1 и х = х₀ + Ах= 1 -}-Дх. Имеем f (х₀) =

=д/Т = 1 и /' (х) = —Цг-, откуда f' (x₀) = f' (1)=4~- ^По формуле (1)

2 д/х ^

Дх) = д/Г+Дх«1 +^Ах.

В частности, д/l,06=д/l -f-0,06«1 -\—0,06=1,03.

Значение д/4,08 также можно найти по формуле (2):

д/4~08 = 2 VT02 «2 (1 + -у - 0,02) = 2,02.

Пр и мер 2. Выведем из формулы (1) приближенную формулу

(1 + Дх)"«1 -f-яДх. (3)

Полагаем f(x) = xⁿ, х₀=1 и х = х₀ + Дх= 1 +Дх. Находим f (х₀)=1, Г (х) = пх^п~\ откуда f'(х₀) — п. По формуле (1)

f (^х)⁼0 +Дх)"«1 -f-яДх.

Например, 1,001¹⁰⁰ = (1 +0,001)¹⁰°«1 + 100-0,001 = 1,1.

Значение 1,001¹⁰°, вычисленное на калькуляторе, равно 1,10512.

Пример 3. Для вычисления значения ^₇₃-₀- удобно вос­пользоваться формулой (3) при /г = — 30, Дх=—0,003:

(1 - 0,003)”³⁰» 1 + (_ 30) • (- 0,003) = I + 0,09 = 1,09. •

Формулой (1) часто пользуются для вычисления приближен­ных значений и других элементарных функций, например тригоно-

метрических. Так, для вычисления sin 1° удобно взять f(x) =

— sin х, х₀ = 0, при этом Дх = щ- (так как 1°⁼у£5')- Имеем /(x₀) = sin 0 = 0, (x₀) = cos 0= 1 и

sin х ж f (хо) + f' (хо)Дх = 0 -}- 1 • Дх = Дх, т. е. sin 1°» 0,017453. Вычисляя значение sin 1° на калькуля­торе, получаем sin 1°«0,0174525.

Упражнения

261. Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения функции f в точках х\ и х₂:

^а) / (х)=х⁴-}-2х, Х\ =2,016, *2 = 0,97;

б) f(x) = x⁵ —х², xi = 1,995, х₂ = 0,96;

в) /(х) = х³ —х, xi=3,02, хг = 0,92;

^г) / (х) = х²-f-Зх, xi = 5,04, хг=1,98.

Вычислите с помощью формулы (1) и (3) приближенные значения (262—263).

262. а) 1,002¹⁰°; б) 0,995⁶; в) 1,03²⁰⁰; г) 0,998²⁰.

263. a) VH604; б) д/25,012; в) V0,997; г) У4ДЮ16.

Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения (264—266).

264. a) tg 44°; б) cos 61°; в) sin 31°; г) ctg 47°.

265. a) cos (-|-+ 0,04^; б) sin^-|—0,02^;

в) sin(-^+0,03); г) tg(-f+0,05).

2®®' ^а) 1,003” ’ 0,996*" ’ 2,0016^s ’ 0,994^s '

21. Производная в физике и технике

1. Механический смысл производной. Напомним, как опре­делялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х (t) времени t. За промежуток вре­мени от to до fo + Д/ перемещение точки равно х (f₀ + ДО^-* (^о) = = Дх, а ее средняя скорость такова:

_Wcp(A/)=ff. (1)

При Л/СО формула (1) также верна: перемещение равно х (t₀)—x (/о + Д/) = — Ах, а продолжительность промежутка време­ни равна —At.

Обычно характер движения бывает таким, что при малых At средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным (см. пример п. 13). Другими словами, значение средней скорости при At—>-0 стремится к некоторому вполне определенному значе­нию, которое и называют мгновенной скоростью v {to) материаль­ной точки в момент времени to. Итак,

v_cp{At)=--+v(t₀) при Л/->0.

Но по определению производной

Т7“^>х/(*°) ^ПР^И Д^⁰-

Поэтому считают, что мгновенная скорость v (t) опреде­лена (только) для любой дифференцируемой функции x(t), при этом

v(t) = x' (t).

Коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.

Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если ско­рость на каком-либо промежутке времени (t\\ t₂) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координа­та растет с течением времени, а если и (/) отрицательна, то коор­дината х (t) убывает.

Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения:

Коротко говорят: производная от скорости по времени есть ускорение.

О Пример 1. Рассмотрим свободное падение материальной точки.

Если координатную прямую направить вертикально вниз, а начальное положение материальной точки совпадает с 0, то, как

gt²

известно из физики, х (/)= g • Тогда скорость падения точки в мо­мент времени t равна

Пример 2. Пусть зависимость координаты точки, движу­щейся по прямой, от времени выражается формулой

^х (0=-§- t²-\-Vot + x о,

где афО, и₀ и х₀— постоянные. Найдем скорость и ускорение движения.

Скорость этого движения такова:

v = x' (0=(-?Н² + ^о/ + хо) =2~t+v₀ = at + v₀.

Так как нам известна скорость движения как функция вре­мени, мы можем найти ускорение этого движения: v'(t) = = (at -f- Vo)' = a. Мы видим, что ускорение при движении по квадра­тичному закону постоянно и равно а. Если а>0, то это равноуско­ренное движение; если же ас0, то равнозамедленное. Отметим также, что у₀ = &(0), а лс₀ = х(0). ф

В главе III мы докажем, что если при движении по прямой уско­рение а постоянно, то движение происходит по квадратичному закону:

где — начальная скорость точки, а хо — начальная координата

V Пусть y = f(x) — произвольная дифференцируемая функция. Тогда мы можем рассмотреть движение материальной точки по координатной прямой, совершаемое согласно закону х = /(/). Механический смысл производной позволяет дать наглядную интерпретацию теорем дифференциального исчисления.

О Пример 3. Пусть f и h — две дифференцируемые функции. Рассмотрим следующее (относительное) движение по прямой. Дана подвижная система координат, связанная с поездом, начало которой (кабина машиниста) движется относительно начала не­подвижной системы координат (станции) по закону xi=f(t). В подвижной системе координат материальная точка совершает движение по закону х₂ — h(t). Тогда координата х этой точки относительно неподвижной системы координат равна x = xi-(-X2, а ее скорость v (t) равна х' (t). С другой стороны, по закону сложе­ния скоростей v (t) = v 1 (/) + ^2(t) = x\ (t)-\-x₂(t). Итак, мы получи­ли с помощью механического смысла производной известную формулу:

(f + h)' = f' + h'.

Пример 4. Пусть материальная точка движется по коорди­натной прямой согласно закону x = f(t).

Средняя скорость этой точки на промежутке [а; Ъ] равна

^СР^— Ь-а *

Мгновенная скорость v {t) в точках промежутка [а\ Ь] не может быть все время меньше (больше) средней. Значит, в какой-то момент /о 6[а; Ь] мгновенная скорость равна средней, т. е. в про­межутке [а; Ь] найдется такое to, что

^v (*о) = Г {to)

Мы получили механическую интерпретацию формулы Лаг­ранжа. А,

2. Примеры применения производной. С помощью производ­ных функций, характеризующих физические явления, задаются и другие физические величины. Например, мощность (по определе­нию) есть производная работы по времени. Рассмотрим пример. О Пример 5. Пусть дан неоднородный стержень, причем из­вестна масса т (/) любого его куска длиной / (/ отсчитывается от фиксированного конца стержня). Хотя стержень неоднороден, естественно полагать, что плотность его небольшой части (на

меньше А/, тем в меньших пределах на этом участке изменяется плотность. Поэтому за характеристику распределения плотности стержня в зависимости от I принимают линейную плотность

d{l) = m'{l).

Пример 6. В большинстве задач механики рассматривают­ся движения точки на плоскости или в пространстве. Тогда ско­рость — векторная величина. Оказывается, что если координаты точки в момент t равны x{t) и у (t), то координаты вектора v (t) скорости равны х' (/) и у' {t). Пользуясь этим, можно вывести формулы производных тригонометрических функций на основе кинематики.

Рассмотрим равномерное движение по окружности радиуса 1 в направлении против часовой стрелки с угловой скоростью 1 (рис. 99). Тогда координаты точки М в момент времени t таковы: х {t) = cos t, у {t) = sin t. Как вы знаете из курса физики, вектор ско-

рости v (/) направлен по касательной к окружности, а его длина равна 1 (М = wR = 1*1 = 1). Следователь­но, этот вектор совпадает с векто­

ром ОР/+ я, координаты которого ны, координаты вектора v (/) равны соответственно х' {t) (т. е. cos' t) и У* (f) (т- е- sin'/). Получаем изве­стные формулы:

cos' /= —sin t, sin't = cos t.

Пример 7. Выведем свойство параболы, имеющее применение в оптике и технике.

Поверхность, получающаяся при вращении параболы у = ах² вокруг оси Оу, называется параболоидом вращения. Представим себе, что внутренняя поверхность параболои­да — зеркальная поверхность и это параболическое зеркало освещает­ся пучком лучей света, параллель­ных оси Оу.

Рассмотрим сечение этого зер­кала плоскостью а, проходящей через ось Оу. Это сечение представ­ляет собой такую же параболу у = х² (ось Ох выбираем в плоскости се­чения, а=1). Согласно законам оптики отраженный луч света будет лежать в плоскости а, причем этот луч образует с каса­тельной к параболе такой же угол, как и падающий луч МА (рис. 100).

V Докажем, что все лучи, параллельные оси Оу, после отраже­ния пересекутся в одной точке оси Оу.

Обозначим через F точку пересечения произвольного отражен­ного луча с осыо Оу. Прямая АТ — касательная к параболе в точ­ке Л. Из законов отражения света (рис. 100) сразу следует, что Z.TAM = /LFAP. Но луч МА параллелен оси Оу, поэтому Z_FPA= /LTAM. Следовательно, /LFPA= /LFAP, т. е. треуголь­ник FPA равнобедренный и FA = FP. Точка А (хо\ уо) лежит на па­раболе, поэтому уо — хЬ. Уравнение касательной АТ имеет вид у = 2хох — хо. Из него найдем ординату у_р точки Р. Она равна у_Р=2хо'0 — х1, т. е. у_Р——уо. Если ординату точки F обозна­чим через у, то FP=y-\-yo. Длина FА = -\jxо + (уо — у)^й, и поэтому (вспомним, что FA—FP) верно равенство {у+уо)² = х² + (уо — у), т. е. у² 2ууо-\-уо = уо-\-уо — 2уу₀ у², откуда 4уу₀ = уо, и, посколь­ку уо¥=0, получаем у = ~. А

Итак, все лучи, параллельные оси параболического зеркала, после отражения сходятся в одной точке, которую называют фокусом параболического зеркала (точку F называют также фокусом параболы у — х²).

На этом свойстве основано устройство параболических те­лескопов. Лучи от далеких звезд приходят к нам в виде параллель­ного пучка. Изготовив параболический телескоп и поместив в его фокус фотопластинку, мы получаем возможность усилить све­товой сигнал, идущий от звезды. Этот же принцип лежит в основе создания параболических антенн, позволяющих усилить радио­сигналы.

Если же поместить в фокусе параболического зеркала источ­ник света, то после отражения от поверхности зеркала лучи, идущие от этого источника, не будут рассеиваться, а соберутся в узкий пучок, параллельный оси зеркала. Этот факт находит при­менение при изготовлении прожекторов и фонарей, различных про­екторов, зеркала которых изготавливают в форме параболои­дов. ф

Упражнения

267. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) =—/³-f-2t²-f-5/. а) Выведите формулу для вычисле­ния скорости движения в любой момент времени /. б) Най­дите скорость в момент t = 2 с. (Перемещение измеряется в метрах.) в) Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

268. Материальная точка движется прямолинейно по закону х (t) — t³ — At². Найдите скорость и ускорение в момент t — 5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

269. Вращение тела вокруг оси совершается по закону <р (/) = 3/² —

— 4/-}-2. Найдите угловую скорость ш (t) в произвольный мо­мент времени t и при t — 4 с. (<p (t) — угол в радианах, со (t) — скорость в радианах в секунду, t — время в секундах.)

270. Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачи­вается на угол ф (t) — At — 0,3г. Найдите: а) угловую скорость

оэ (/) вращения маховика в момент времени t = 2 с; б) такой момент времени, когда маховик остановится. (<p (t) — угол в радианах, t — время в секундах.)

271. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t³-\-t—\. Найдите ускорение в момент времени /. В какой момент времени ускорение будет равно: а) 1 см/с²; б) 2 см/с²? (х (t) — перемещение в сантиметрах, t — время в секундах.)

,3

272. Точка движется прямолинейно по закону х (t) — —-—f- 3r — 5

(время измеряется в секундах, координата — в метрах). Най­дите: а) момент времени /, когда ускорение точки равно нулю; б) скорость движения точки в этот момент.

273. Точка движется прямолинейно по закону х (t)=^ft. Покажи­те, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.

274. Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой га, движущуюся прямолинейно по закону *(/) = = 2/³ — /² при t — 2.

275. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону *(/) = = /²-И+ 1. Координата х измеряется в сантиметрах, время t — в секундах. Найдите: а) действующую силу; б) кинети­ческую энергию Е тела через 2 с после начала движения.

276. Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А на расстояние /, масса куска стерж­ня АС в граммах определяется по формуле га (/) = З/² + 5/. Найдите линейную плотность стержня: а) в середине отрез­ка АВ', б) в конце В стержня.

277. По прямой движутся две материальные точки по законам x\(t) = AL² — 3 и Х2 (t) — t³. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки?

278. Из пункта О по двум лучам, угол между которыми 60°, движутся два тела: первое — равномерно со скоростью 5 км/ч, второе — по закону s (t) — 2t²-\-t. С какой скоростью они удаляются друг от друга? (s измеряется в километрах, t — в секундах.)