С / \ cos Зх \ г / \ х

в) №)=—, г)

237. a) /(x) = sin²x; б) f (x)==tg x + ctg х; в) f (х) = cos² х; г) f (x) = sin² x + cos²x

238. a) f (x) = cos 2х sin x-J-sin 2x cos x;

б) f(x) = cos²^—sin²

в) f (x) = sin 5x sin Зх + cos 5x cos Зх; r) f (x) = sin 3x cos 3x

239. Найдите точки, в которых f'(х) = 0, f'(x)> 0, если.

^а) f(x) = 2 sin² х—1/2 х; б) f (х) = 2х + cos (4х — л); в) f(x) = cos 2х; г) f (x) = sin 2х—-уЗх.

240. Задайте формулой хотя бы одну функцию если ^а) Г(^х)⁼1—sin х; б) f' (х) = 2 cos 2х

^в) Г (^х)⁼ —^{cos г}) Г i^x) — 3 sin х.

§ 5. ПРИМЕНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНОЙ

18. Применения непрерывности

1. Непрерывность функции. В п. 14 вы познакомились с поня­тием непрерывности функции в точке. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка /, то ее называют не­прерывной на промежутке I (промежуток I называют промежут­ком непрерывности функции f). При переходе от одной точки этого промежутка к близкой ей точке значение функции меняется мало;

121

график f на этом промежутке представляет собой непрерывную линию, о которой говорят, что ее можно «нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги». (Так, во всяком случае, обстоит дело для непрерывных функций, изучаемых в школьном курсе.)

Как было показано в п. 15, функция, дифференцируемая в точке хо, непрерывна в этой точке. Все дробно-рациональные и основные тригонометрические функции дифференцируемы во всех точках своих областей определения. Следовательно, эти функ­ции и непрерывны в каждой из этих точек.

Например, из дифференцируемости функции f(x) = x² на всей

прямой, а функции f(x) = ~ на промежутках (—оо;0) и (0; оо)

вытекает непрерывность этих функций на соответствующих про­межутках.

Отметим следующее свойство непрерывных функций:

Если на интервале (а; Ь) функция f непрерывна и не обращает­ся в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. Это утверждение имеет наглядную интерпретацию. Допустим, что найдутся такие точки х\ и х₂ интервала (а; Ь), что f (х i)<0, a

f (х₂)>0.

Тогда непрерывная кривая (график функции f), соединяющая точки A (x\\f(x\)) и В (х₂; f (х₂)), разделенные прямой у = 0, пере­секает эту прямую в некоторой точке хз данного интервала (рис. 89), т. е. f (х₃) = 0. (Представим себе, что точки А и В нахо­дятся на разных берегах реки, изображаемой интервалом (а; Ь). Ясно, что туристу, для того чтобы попасть из А в В, надо где-то перейти реку.) Это противоречит условию: функция f не обращает­ся на интервале (а; Ь) в нуль.

2. Метод интервалов. На свойстве непрерывных функций, рас­смотренном в этом пункте (его полное доказательство приводится в курсах математического анализа), основан метод решения нера-

венств с одной переменной (метод интервалов). Опишем его.

Пусть функция f непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интер­вала. По сформулированному выше свойству непрерывных функций эти­ми точками I разбивается на интер­валы, в каждом из которых непре­рывная функция f сохраняет посто­янный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции / в какой-либо одной точке из каждого такого ин­тервала.

О Пример 1. Решим неравенст-

+ — + ■о——О О' ■ - >

/ £ 3

Рис. 90

Х2 — 1

Функция f(х) = —— ■■ непрерывна в каждой точке своей

X — DX О

области определения (это дробно-рациональная функция) и обра­щается в нуль в точках —1 и 1. Область определения этой функ­ции — вся числовая прямая, за исключением нулей знаменателя, т. е. точек 2 и 3. Эти точки и точки — 1 и 1 разбивают область определения f на 5 промежутков (рис. 90), в каждом из которых функция f непрерывна и не обращается в нуль. На рисунке отме­чен знак f в каждом из соответствующих интервалов, который определяем, найдя знаки значений f во внутренних точках интер­валов. Неравенство нестрогое, поэтому числа — 1 и 1 (нули функ­ции /) являются решениями неравенства. Рассматривая рисунок, можно записать о т в е т: множество решений неравенства — объединение промежутков (—оо; —1], [1;2) и (3; оо).

Пример 2. Найдем один из корней уравнения л:³ + 2х — 2 = 0 с точностью до 0,1.

Функция f(x)=x³-\-2х — 2 непрерывна, поэтому достаточно найти отрезок длиной 0,2, на концах которого f имеет значения разных знаков. Имеем f (1)=1 >0, /(0)=—2<0, поэтому корень уравнения существует и он принадлежит отрезку [0; 1]. / (0,6)= = 0,6³ + 2-0,6 — 2= — 0,584 < 0 и f(1)>0, значит, корень лежит на отрезке [0,6; 1]. Наконец, f (0,8)=0,112>0, а /(0,6)<0, полу­чили, что корень на отрезке [0,6; 0,8]. Теперь мы можем его найти: *о~0,7 с точностью до 0,1. ф

3. Пример функции, не являющейся непрерывной. Практи­чески все функции, с которыми вы встречались до сих пор, непре­рывны в любой точке своей области определения. Не следует, однако, считать, что это верно для любой функции.

Приведем пример. Рассмотрим функцию f (*)={*}, где {*} — дробная часть числа х (график ^(х) = {х} изображен на рисун­ке 91, а), и возьмем любую целочисленную точку оси абсцисс, например х = 2.

Основное свойство непрерывной в х₀ функции (f (хо + Дл:)-*- ~+f(xо) при Дх-МЗ) в данном случае не выполняется. Действи­тельно, пусть Дл:->0. Если Длс;>0, то {хо + Дл:} близко к нулю. Если же ДхСО, то значения {лго + Д*} близки к 1. В то же время функция f(x) = {x} непрерывна во всех точках, отличных от точек лс=п, где п — целое число.

Это свойство функции f (х) = {х\ нетрудно понять, рассмотрев рисунок 91, а.

4. Пример функции, непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке. Примером такой функции является функция

n

/Л///

-2 -1 О

о)

Рис. 91

/(*)= |*| (рис. 91, б), которая непрерывна, но не дифференцируе­ма в нуле. Напомним, что

f/И— 1И— { х, если х^О, '' ' I —х, если хСО.

Непрерывность функции f (х)=\х\ в любой точке (в том числе и в нуле) очевидна.

Рассмотрим график этой функции. Для любого хХЗ в не­которой окрестности точки хо>0 функция равна х, и поэтому производная ее в таких точках равна х\ т. е. \х\'=\ при л:;>0. Так как \х\ = —х при х<0, то 1*1'= — 1 при отрицательных значениях х. В точке 0 функция f(x)=\x\ не имеет производной.

V Докажем это методом от противного. Допустим, что f (х)=

= |х| имеет производную в нуле, т. е. стремится к неко­

торому числу А при Дх 0. Тогда при всех достаточно малых

I Дх| значения близки к А, и, в частности, при малых значениях Ах

Ах

0<Л <2.

Для Длг<0 справедливо неравенство

1 < — 1 —А < 1, т. е.

—2<А <0.

(1)

1—Л |<1, откуда (2)

Неравенства (1) и (2) противоречивы. Следовательно, наше допущение о существовании производной функции f (х)=\х\ в ну­ле неверно. А

Итак,

Упражнения

241. Является ли функция / непрерывной в точках Xi=0 и Хч = — 1, если:

а) /(*)=*•-,+!; б)

в) f М={ 5 — 2х при ^{Г) 1} (^х)="^2х~^х2+х^3?

242. Найдите промежутки непрерывности функции: a) f(x) = x³ —2х^[13]; б) f (х)=;

в) f (х) = 2х⁴ — Зх² + 4; г) f (х) = *-~^+⁶-.

243. Докажите, что данное уравнение имеет корень, принадлежа­щий отрезку [0; 1], и найдите его с точностью до 0,1:

а) 1,4 — 1 Ох² — х³ = 0; б) 1+2х²—100х⁴ = 0; в) х³ —5х-}-3 = 0; г) х⁴+2х —0,5 = 0.

Решите неравенства (244—245).

244. а) х²-5* + 4>0; б) -^-*+^,,>0;

в) jc²-3*-4<0; г) -^7х?⁶-<0.

Х — 2

²⁴⁵- ^а> W^{>0: б)} 7=е+Г<¹: ■» ^г> ■<?+£-% ^<а

246. Найдите область определения функции:

a) f (^x)=^Jх——zy; ^б) /(*)—Y^zrr+^l;

в) 1(х)=л[Щ±1i_{; r)} f_W=yi ~

JC²-1

Решите неравенства (248—249)

248. а) х⁴-10х² + 9<0; б) х⁴-8>7х²;

в) х⁴ — 5х² + 6>0; г) 5х² — 4>х⁴

249. а) (х² — 1)(х + 4)(х³ — 8)<0; б) -^х² — 4(х — 3)<0; в) *²(3-*)(*+2)>0; г) >0.

250. Найдите область определения функции:

a) f (х) = л/9х —х³; б) f (_x)=~yJх² — ~;

в) f (x)=Vl6x —х³, г) f(x)=~\J 1—Р-

19. Касательная к графику функции

1. Касательная. С понятием касательной к графику функции вы уже знакомы. График дифференцируемой в точке х₀ функции / вблизи хо практически не отличается от отрезка касательной, а значит, он близок к отрезку секущей /, проходящей через точки (х₀, f(x₀)) и (хо “I^- Ах; f (х₀ -f^- Дх)). Любая из таких секущих проходит через точку А (хо; / (хо)) графика (рис. 92). Для того что­бы однозначно задать прямую, проходящую через данную точку А, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой коэффи­циент секущей при Дх->0 стремится к числу f' (х₀) (его мы

примем за угловой коэффициент касательной) Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Дх-И).

V Если же f' (хо) не существует, то касательная либо не сущест­вует (как у функции у= |х| в точке (0; 0), рис. 91, б), либо верти­кальна (как у графика у=\[х в точке (0; 0), рис. 93). А

Итак, существование производной функции / в точке хо эквива­лентно существованию (невертикальной) касательной в точ­ке (хо, f (хо)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f' (х₀). В этом состоит геометрический смысл производной.

Рис. 94

Касательная к графику дифференцируемой в точке хо функ­ции f — это прямая, проходящая через точку (*о; / (*о)) и имеющая угловой коэффициент f' (xq).

Проведем касательные к графику функции / в точках Х\, х₂, *з (рис. 94, а) и отметим углы, которые они образуют с осью абс­цисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.) Мы видим, что угол си острый, угол аз тупой, а угол а2 равен нулю, так как прямая / параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого — отрицателен, tg 0 = 0. Поэтому

Г(*»)>0, ГЫ = 0, f'(x₃)<0.

Построение касательных в отдельных точках позволяет более точно строить эскизы графиков. Так, например, для построения эскиза графика функции синус предварительно находим, что в точ­ках 0; |-ил производная синуса равна 1; 0 и —I соответственно.

Построим прямые, проходящие через точки (0; 0), и (я, 0)

с угловыми коэффициентами 1, 0 и — 1 соответственно (рис. 94, б) Остается вписать в полученную трапецию, образованную этими прямыми и прямой Ох, график синуса так, чтобы при х, равном

0, у и л, он касался соответствующих прямых.

Отметим, что график синуса в окрестности нуля практически не отличим от прямой у = х. Пусть, например, масштабы по осям выбраны так, что единице соответствует отрезок в 1 см. Име­ем sin 0,5 «0,479425, т. е. | sin 0,5 — 0,50,02, и в выбранном масштабе это соответствует отрезку длиной 0,2 мм. Поэтому график функции у = sin лс в интервале (— 0,5; 0,5) будет отклонять­ся (в вертикальном направлении) от прямой у = х не более чем на

0, 2 мм, что примерно соответствует толщине проводимой линии.

2. Уравнение касательной. Выведем теперь уравнение каса­тельной к графику функции f в точке A (x_G; f (хо)).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом f' (х₀) имеет

вид:

У = Г (хо)‘Х + Ь.

Для вычисления b воспользуемся тем, что касательная прохо­дит через точку А:

f (xo) = f' {хо)'Хо + Ь, откуда b=f {x₀) — f' {х₀)-х₀, значит, уравнение касательной таково:

y=f' (Хо) х—f' (х₀) • хо + f (х₀),

или

y = f (*о)4-Г (*о) (X—Хо). (1)

О Пример 1. Найдем уравнение касательной к графику функ­ции /(х) = х³— 2х² 4-1 в точке с абсциссой 2.

В этом примере х₀ = 2, f(x₀) = f(2) = 2³ — 2 - 2² 4* 1 = 1» Г (*) = =3х² — Ах, f' (x₀) = f' (2) = 3*2² — 4-2 = 4. Подставляя эти числа в уравнение (1), получаем уравнение у= \ -{-А (х — 2), т. е. у = = Ах — 7.

Пр и м е р 2. Выведем уравнение касательной к параболе у = х² в точке с абсциссой Хо.

Имеем у(хо)=хо, а у'(х₀) = 2хо. Подставляя эти значения в уравнение (1) касательной, получаем у=х 0-J-2x₀ (х —х₀), т. е. у = 2хох — Хо. Например, при Хо=1 получаем касательную, имею­щую уравнение у = 2х—1.

Найдем координаты точки Т пересечения касательной к па­раболе в точке А (хо; хо) с осью Ох (рис. 95). Если {х\ \ 0) — коор­динаты точки Т, то, поскольку Т принадлежит касательной (и, зна­чит, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной),

имеем 0 = 2jco*i — хо. Если Хот^О, то х\=

Полученный результат дает простой способ построения каса­тельной к параболе в любой ее точке А (кроме вершины): достаточно соединить точку А с точкой Т, делящей отрезок оси Ох с концами 0 и хо пополам; прямая АТ — искомая касательная. При хо = 0 касательная — это прямая Ох. ф

3. Формула Лагранжа. Воспользуемся геометрическим смыс­лом производной, чтобы дать наглядные пояснения справедли­вости того, что существует касательная к графику f в точке с абс­циссой с из интервала (а; Ь), параллельная секущей, проходящей через точки A (a; f (а)), В (6; f (b)).

Рассмотрим прямую /, параллельную АВ и не имеющую общих точек с частью гра­фика, соответствующей промежутку [а; Ь\. Будем перемещать эту прямую / по направ­лению к графику f так, чтобы она остава­лась параллельной АВ. Зафиксируем поло­жение /о этой прямой в момент, когда у нее появятся общие точки с этой частью графи­ка. Из рисунка 96, а видно, что любая из таких «первых» общих точек — точка ка-

Рис. 96

сания прямой /о с графиком f. Обозначим абсциссу этой точки через с. Тогда f' (c)=tg а, где а — угол между прямой /₀ и осью абсцисс. Но 1\\АВ, поэтому угол а равен углу наклона секущей АВ, т. е.

/' (<-'} = tg сс:

Итак, если функция дифференцируема, то на интервале (а; Ь) найдется такая точка с6(а; Ь) (рис. 96, б), что

f'(c )