Б) Заметим, что длина хорды АВ меньше длины дуги АВ, т. е

I Дх | а | Дх |

2 sin

Воспользовавшись формулой разности косинусов и этим нера­венством, находим:

| cos^xo + ^p) — cos хо| =| —2 sin ^sin^x₀+^) I <

<1 2 sin — I

1 4 2

H° -Lyi-->0 при Дх->0. Поэтому _Cos(x_n+^-) ->-cosxonpH Дх -*• 0. А

О П р и м е р. По формуле дифференцирования сложной функ­ции

(sin (ах + 6))'== a cos (ах + 6). О

2. Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котан­генса. Докажем, что функции у = cosx, у — tg х, у =ctg х имеют производные в каждой точке своей области определения и справед­ливы формулы:

(cos *)' = — sin х, (2)

^{3)

⁽⁴⁾

Вывод формулы (2) основан на равенствах cos х = = sin^-^—х^, cos^—x^=sinx и правиле дифференцирова­ния сложной функции:

(cos х/=(sin^^—х^ =cos^-|—х) —xj '= — sin х.

Чтобы доказать справедливость формул (3) и (4), применим формулу для нахождения производной частного и выведенные формулы производной синуса и косинуса:

,, у____ (sin х \' (sin х)' cos х—(cos х)' sin х_________ cos² Jt+sin² х 1

' ® ' \ COS X) cos² X