О Пример 1. Пусть требуется вычислить по заданному зна­чению х соответствующее значение z функции h, заданной форму­лой

z=h (x) = V 1 —х².

Для этого надо сначала вычислить по заданному х значение y=f(x)= 1 —х². а затем уже по этому у вычислить

Итак, функция f ставит в соответствие числу х число у, а функ­ция g — числу у число z. Говорят, что h есть сложная функция, составленная из функций g и f, и пишут:

h(x) = g (f (х)).

Чтобы вычислить значение сложной функции h (x) = g (f (х)) в произвольной точке х, сначала вычисляют значение у «внутрен­ней» функции f в этой точке, а затем g (у).

Какова область определения сложной функции g (f (х))? Это — множество всех тех х из области определения функции f, для ко­торых f (х) входит в область определения функции g.

В рассматриваемом примере областью определения функции / является вся числовая прямая. Значение h (х) определено, если значение f (х) принадлежит области определения функции g (у) = =^[у. Поэтому требуется, чтобы выполнялось неравенство у^О, т. е. 1 — х²^0, и, значит, область определения функции g (f (х)) — это отрезок [—1; 1]. О

2. Формула производной сложной функции. В предыдущих пунктах вы научились находить производные рациональных функ­ций, в частности многочленов. Однако задача вычисления произ­водной функции f (х) = (2х4-3)¹⁰⁰, хотя и сводится к нахождению производной многочлена, требует очень большого объема работы: надо представить (2x4-3)’ в виде многочлена и продифференци­ровать 101 слагаемое полученной суммы. Можно заметно упрос­тить решение этой и других задач, доказав правило вычисления производной сложной функции.

Если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g име­ет производную в точке yo = f (хо), то сложная функция Л(х) = =g(f(x )) также имеет производную в точке хо, причем

h'(*>)=? (f(*>))'Г (**)• (1)

V Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Дх=т^0 рассмотреть дробь и установить, что jj-*- g' (yo)'f' (хо) при Дх->0. Введем обозначения:

ДУ — f (хо 4-Ax) — f (х₀)=Д/.

Тогда Дh = h (х₀ 4- Дх) — Л (х₀)=g(Дх₀ 4~ Ах)) — g(Дх₀)) = g{уо 4~ Ау) —

— g(yo) = Ag.

Ay—>"0 при Дх-^0, так как / дифференцируема в точке Хо.

Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Af=£Q в некоторой окрестности точки хо- Тогда

при Дх -*• 0, так как jj--^f'(x₀) Ах Ay Ах Ay Ах Ах

при Дх-И), а g' (Уо) при Ау—>-0. что выполнено при Дх—*-0 (это отмечалось выше). А

О Пример 2. Вернемся к поставленной выше задаче и найдем производную функции h (х)=(2х4-3)¹⁰⁰.

Функцию h можно представить в виде сложной функции

h{x)=g{f{x )), где g(y)=y^m, y=f(x)= 2x4-3.

Так как f'(х)=2 и g' {у) = lOOt/⁹⁹, имеем

W (х) = 2 • 100t/⁹⁹ = 200 (2x 4-3)".

Пр и мер 3. Найдем производную функции h (х)=д/3х²4~ 1- Так как h (x)=g (f (х)), где y=f (х) = 3х²4~ 1, g{y)=-Jy, то

g'{y)=-±— и у' =/^/ (х)=6х, откуда

h'<x)=-!—u' = —Si =-³*...... •

2V5 2V5?+T V3F+T

Упражнения

Задайте формулами элементарные функции f и g, из кото­рых составлена сложная функция h (x) = g(f (х)) (220—221).

220. a) h(x) = cos Зх; б) h (x) = sin^2x—

в) h(x)=tg-%-; г) h (x) = cos^3x4-j-).

221. a) h (x)=(3 — 5x)⁵; 6) h (x)=д/cos x; в) h (x)=(2x4-1)⁷; r) /i(x)=tg^-.

Найдите область определения каждой из функций (222— 223).

222. а) у=^]9 — х²; б) t/ =

У*²-7*4 12 ’

в) t/=V0,25—х^й; г) ~—

V4jc45—jt

223. a) y—^jcos х; б) t/=-

■('-Й ’

в) y — tg2x\ г) ^== д/sin х.

Найдите производные функций (224—225)

224. a) f (х)=(2х—7)⁸; б) /(х) ¹

(5x41)³ *

в) f (х)=(9х4~5)⁴; г) /(х) = ¹

(6JC-1)⁵ *

225. a) fW=(3—§-)”⁹; б) f (x)=(-L*-7)⁸-(1-2jc)⁴; в) f(x)—(4 — 1,5х)¹⁰; г) f (х)=(5х —2)¹³ —(4х4-7)^_6.

226. Найдите область определения функции:

а) у=У 1—2 cos х; б) у =-у — 1;

в) t/ = д/sГп х —0,5; г) y=~\j -~ +1 •

227. Заданы функции f {х) = 3 —2х, g(x) = x^[9] и p(x)=sinx. За­дайте формулой сложную функцию h, если:

a) h{x) = f{g(x))\ б) h(x) = g{p(x ));

в) h(x)=g(f (х)); г) h (х) = р (/ (х)).

228. Заданы функции / (х)= —j—^, g(x) = cosx и р (х)=л/х. За­дайте формулой сложную функцию Л; найдите ее область определения, если:

a) h(x) — f (g (х)); б) h (x) = f {р (х));

в) h{x)=p(g{x))\ г) h (х) = р (J (х)).

229. Найдите такую функцию /, что f(g(x)) = x:

a) g(x) = 2x; б) g (х) = л/х\

^в) g(x) = 3x + 2; г) g (x) = x²-f 1, х<0.

230. Найдите производную функции /:

а) /(х) = (х^[10] — 2х² + 3)¹⁷; б) f (х)_=ЛД — *^[11]+ргрз;

в) / (х)=-\/4х²4-5; г) f (х) = (3 — х³)^[12] + л/2х — 7.

17. Производные тригонометрических функций

1. Формула производной синуса. Докажем, что функция синус имеет производную в любой точке и

(sin x)' = cos х. (1)

Применяя формулу sin a —sin Р = 2 cos sin ^а~находим

2 Ах

			1 • COS Хо = cos Хо.

V Утверждения а) и б), на которые мы опирались выше, имеют наглядный геометрический смысл.