![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
\!|/ V (х0 + Ах) v (хо) v (Хо) v (х0 + Дх) v (х0) (у (х0) + Av)
2) Отсюда
■(т)
Ах v (х0) (и (х0)+Av)
3) При Ах-»-0 имеем ^~+v' (в силу дифференцируемости v в точке хо), Др->0 (по доказанной лемме). Поэтому
\ W/ —v' v' „ „ / 1 \ ' v'
"Y - -» = г - т- е- (—) — Г-
Ах V‘V v ' / v
Теперь, пользуясь правилом нахождения производной произведения функций, находим производную частного:
О Пример 1. Найдем производные функций: a) f (х)=хг— б>
а> (т)’=-?=-?■• поэтому (xS-t),=^),-(-t),“
=2*~(_?)=2jc+ir;
б) (-^—у
V Х3+1/
2х(х3+1) —х2(Зх2 + 0) _2х4 + 2х — Зх4 2х—х4 ~ (х3+1)2 ~ (J^+I)2 (x3+lf
2. Производная степенной функции. Формула для вычисления производной степенной функции хп, где п — произвольное натуральное число, большее 1, такова:
(д£гп)' = /гл:п_1. (1)
Формула производной функции х2 уже известна: (х2)'= 2х.
Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:
(а:3)' = (х2 • х)' = (х2)'х+х?(х)' = 2х • х + х2 • 1 = Зх2;
(х4)' — (х3 • х)' = (х2)'х -f- х\х)' = Зх2 • х -f- х3 • 1 = 4х3.
Заметим теперь, что
(х2)' = 2х2-1, (х3)' = Зх3_|, (х4)' = 4x4_1,
т. е. для л, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для п, равного 5, 6 и т. д.
V Докажем, что формула (1) верна для любого натурального п> 4.
Допустим, что формула (1) верна при n — k, т. е. что
(х*)' = kx?~l.
Покажем, что тогда формула (1) верна при n — k-\-1. Действительно,
(**■+1)' = (хк • ху = (**)' • а: + хк • (х)' =
= kxk~l-x + xk = kxk-{-xk = {k-{-l)xk.
Поэтому из того, что формула (1) верна при п= 4, следует, что она верна и при п = 5, но тогда она верна и при п = 6, а следовательно, и при п = 7 и т. д. до любого n£N (строгое доказательство основано на методе математической индукции). А
Если п — 1 или п = 0, то при хфО эта формула также справедлива. Действительно, по формуле (1) при хфО
(х1У=\>х1-'=А-х°=\,
(х°у = 0‘Х°~1 —О,
что совпадает со значениями производных функций х и 1, уже известными из предыдущего пункта.
Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда п = —т, где т — число натуральное. Применяя правило дифференцирования частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при хфО:
(хГ)'=(х~ т)'=(--)'=~ W ■ = ~ т^~1 = — т. —*—=
\хт / (xmf х2т xm + l
= —mx~m~l=nxn~l.
В результате можно сделать вывод:
Для любого целого п и любого х (хф О при п^. 1)
(хп)' = пхГ ~'.
ОПр и мер 2. Найдем производные функций: a) f(x) = x 5;
б) f(x)=3x7-jr-
а) (л:-5)'= —5л:-5-1 = — 5*“6;
б) (^Зх7—= 3 (х7)' — 5 (х_3)' = 3-7х6— 5 (— 3)х~А =
= 2\х6 + ~. ф
X
Из дифференцируемости степенной функции и основных правил вычисления производных вытекает, что целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференцируемы в каждой точке своей области определения.
Упражнения
Найдите производные функций (208—211).
208. a) f(x) = x2-И3; б) f (х) = -~{- 5х —2;
в) f {х) = х2 + 3х— 1; г) f(x) = x3- bV*-
209. а) f (х) = х*(4 + 2х — х2)\ б) f(x)=^[x{2х2 — х)\
в) f (х) = >? {Зх + х3)\ г) f(x) = {2x — 3)(1— х3).
210- а> б> в> г)
211. a) y = xg — Зх4 — * + 5; б) у = -1—Д-+л/*;
в) у = х7 — 4х5-\-2х — 1; г) = Jr+1-
212. Вычислите значения производной функции f в данных точках:
а) f (х) = х2 — Зх, х=—Х—, х = 2\
б) f (х) = х — 4-фс, х = 0,01, х — 4;
в) f(x) = x—j-, х=^2, х=—щ\
г) = х=~3’ х = 0.
213. Решите уравнение f'(х) = 0, если:
а) /(*) = 2х2-х; б) / (х)= -^-х3 + х2 + 12;
в) /С*)=:|---- 1,5л:2 —4*; г) /(*) = 2х —5х2.
214. Решите неравенство /'(х)<0, если:
а) /(х) = 4х —Зх2; б) f (х) = х3-\-\,5х2\
в) f(x) = x2 — 5х; г) f(x) = 4x —^-х3.
О
215. Найдите производную функции:
а> б) /М=(-г+**)(2-^;
в) Kx)=jzrf’ г) 1(х)=ф(3х*—х).
216. Найдите значения х, при которых производная функции / равна нулю:
a) f (х) = х5 — 3 -j-x3-j-5jc; б) f (х) = 2х4 — х8; в) f(x) = x* + 4х; г) f (х) = х4—12х2.
217. Решите неравенство /'(х)<0, если:
a) /(х) = х3 — 6а:2 — 63лг; б) / (х) = Зх — 5х2 -+- х3, в) / (х) = -|-х3 — 8х; г) f (х) = 3х2 — 9х—^"*3-
218. Задайте формулой хотя бы одну функцию, производная которой равна:
а) 2х + 3; б) 16а3 — 0,4;
в) 8х —2; г) 9х2—
219. Верно ли, что функция ф (x)=f\ (х)+/2 (х) не имеет производной в точке Хо, если известно, что:
а) каждая из функций /1 (х) и f2 (х) не имеет производной в точке х0;
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 963 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!