У (хо) — у (-Уо -f- Ах)_____________ —А у

\!|/ V (х₀ + Ах) v (хо) v (Хо) v (х₀ + Дх) v (х₀) (у (х₀) + Av)

2) Отсюда

■(т)

Ах v (х₀) (и (х₀)+Av)

3) При Ах-»-0 имеем ^~+v' (в силу дифференцируемости v в точке хо), Др->0 (по доказанной лемме). Поэтому

\ W/ —v' v' „ „ / 1 \ ' v'

"Y - -» = г - ^т- ^е- (—) — Г-

Ах V‘V v ' / v

Теперь, пользуясь правилом нахождения производной произве­дения функций, находим производную частного:

О Пример 1. Найдем производные функций: a) f (х)=х^г— ^б>

^а> (т)’=-?=-?■• ^{поэтому} (^xS-t)^,=^)^,-(-t)^,“

⁼²*~(^_?)^=2jc+i^r;

б) (-^—у

V Х³+1/

2х(х³+1) —х²(Зх² + 0) _2х⁴ + 2х — Зх⁴ 2х—х⁴ ~ (х³+1)² ~ (J^+I)² (x³+lf

2. Производная степенной функции. Формула для вычисления производной степенной функции х^п, где п — произвольное нату­ральное число, большее 1, такова:

(д£г^п)' = /гл:^п_1. (1)

Формула производной функции х² уже известна: (х²)'= 2х.

Пользуясь формулой дифференцирования произведения, полу­чаем:

(а:³)' = (х² • х)' = (х²)'х+х?(х)' = 2х • х + х² • 1 = Зх²;

(х⁴)' — (х³ • х)' = (х²)'х -f- х\х)' = Зх² • х -f- х³ • 1 = 4х³.

Заметим теперь, что

(х²)' = 2х^2-1, (х³)' = Зх^3_|, (х⁴)' = 4x^4_1,

т. е. для л, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для п, равного 5, 6 и т. д.

V Докажем, что формула (1) верна для любого натурального п> 4.

Допустим, что формула (1) верна при n — k, т. е. что

(х*)' = kx?~^l.

Покажем, что тогда формула (1) верна при n — k-\-1. Дейст­вительно,

(**■+¹)' = (х^к • _ху = (**)' • а: + х^к • (х)' =

= kx^k~^l-x + x^k = kx^k-{-x^k = {k-{-l)x^k.

Поэтому из того, что формула (1) верна при п= 4, следует, что она верна и при п = 5, но тогда она верна и при п = 6, а сле­довательно, и при п = 7 и т. д. до любого n£N (строгое доказа­тельство основано на методе математической индукции). А

Если п — 1 или п = 0, то при хфО эта формула также спра­ведлива. Действительно, по формуле (1) при хфО

(х¹У=\>х¹-'=А-х°=\,

(х°у = 0‘Х°~¹ —О,

что совпадает со значениями производных функций х и 1, уже из­вестными из предыдущего пункта.

Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда п = —т, где т — число натуральное. Применяя правило дифференциро­вания частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при хфО:

(хГ)'=(х~ ^т)'=(--)'=~ W ■ = ~ ^т^~¹ = — т. —*—=

\х^т / (x^mf х^2т x^{m + l}

= —mx~^m~^l=nxⁿ~^l.

В результате можно сделать вывод:

Для любого целого п и любого х (хф О при п^. 1)

(х^п)' = пхГ ~'.

ОПр и мер 2. Найдем производные функций: a) f(x) = x ⁵;

б) f(x)=3x⁷-jr-

а) (л:-⁵)'= —5л:-⁵-¹ = — 5*“⁶;

б) (^Зх⁷—= 3 (х⁷)' — 5 (х^_3)' = 3-7х⁶— 5 (— 3)х~^А =

= 2\х⁶ + ~. ф

X

Из дифференцируемости степенной функции и основных пра­вил вычисления производных вытекает, что целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции диффе­ренцируемы в каждой точке своей области определения.

Упражнения

Найдите производные функций (208—211).

208. a) f(x) = x²-И³; б) f (х) = -~{- 5х —2;

^в) f {х) = х² + 3х— 1; г) f(x) = x³- bV*-

209. а) f (х) = х*(4 + 2х — х²)\ б) f(x)=^[x{2х² — х)\

в) f (х) = >? {Зх + х³)\ г) f(x) = {2x — 3)(1— х³).

²¹⁰- ^а> ^б> ^в> ^г)

211. a) y = x^g — Зх⁴ — * + 5; б) у = -1—Д-+л/*;

в) у = х⁷ — 4х⁵-\-2х — 1; г) = Jr+1-

212. Вычислите значения производной функции f в данных точках:

а) f (х) = х² — Зх, х=—^Х—, х = 2\

б) f (х) = х — 4-фс, х = 0,01, х — 4;

в) f(_x) = _x—j-, х=^2, х=—щ\

^г) = ^х=~³’ х = 0.

213. Решите уравнение f'(х) = 0, если:

а) /(*) = 2х²-х; б) / (х)= -^-х³ + х² + 12;

в) /С*)=^:|---- 1,5л:² —4*; г) /(*) = 2х —5х².

214. Решите неравенство /'(х)<0, если:

а) /(х) = 4х —Зх²; б) f (х) = х³-\-\,5х²\

в) f(_x) = x² — 5х; г) f(x) = 4x —^-х³.

О

215. Найдите производную функции:

^а> б) /М=(-г+**)(2-^;

в) K^x)=jzrf’ ^г) 1(х)=ф(3х*—х).

216. Найдите значения х, при которых производная функции / равна нулю:

a) f (х) = х⁵ — 3 -j-x³-j-5jc; б) f (х) = 2х⁴ — х⁸; в) f(x) = x* + 4х; г) f (х) = х⁴—12х².

217. Решите неравенство /'(х)<0, если:

a) /(х) = х³ — 6а:² — 63лг; б) / (х) = Зх — 5х² -+- х³, в) / (х) = -|-х³ — 8х; г) f (х) = 3х² — 9х—^"*³-

218. Задайте формулой хотя бы одну функцию, производная ко­торой равна:

а) 2х + 3; б) 16а³ — 0,4;

в) 8х —2; г) 9х²—

219. Верно ли, что функция ф (x)=f\ (х)+/2 (х) не имеет производ­ной в точке Хо, если известно, что:

а) каждая из функций /1 (х) и f₂ (х) не имеет производной в точке х₀;