Функции и и v дифференцируемы в точке л'о, т. е. при Да:-^0

Д и, Ли.

>U, -т >v'.

Ах Ах

Тогда ^Л--'^ ^ ->- и' -\-v' при Да: 0 (см. правило 3, а) предель­ного перехода п. 14), т. е. (u + v)' = u'-\-v'.

Лемма. Если функция f дифференцируема в точке хо, то она непрерывна в этой точке: Af-+0 при Да:->-0, т. е.

F (хо 4- Ax)-*-f (лг0) при Дл:->-0.

Действительно, Д[=^— Ax-^f'(x₀)-Q при Д.г-^О, так как

Ах IV/ г a.v

-*-f' (хо), а Дх—Ч). Итак, Д/->-0 при Дх-й}, т. е. для дифференци­руемых функций / (хо + Ax)-+f (хо) при Дх-»-0.

Правило 2. Если функции и и v дифференцируемы в точ­ке хо, то их произведение дифференцируемо в этой точке и

(uv)' = u'v-\-uv'.

V 1) Найдем сначала приращение произведения:

Д (uv)= и (аго + Да:) v (хо + Ах) — и (xq) v (х₀)=

= (ы (хо) 4~ Аи) (v (хо)4-Av) — u(xo) v (х₀)=

= и (х₀) v (х₀) + A uv (х₀) 4~ ^и (^хо) Av -f AuAv — и (л*о) v (х_0; =

— Auv (х₀)4-«(лго) Av-\-AuAv

²>

3) В силу дифференцируемости функций и и и в точке хо при Дх-^0 имеем и'» > Au-+Q. Поэтому (*■>) +

-\-и (xo)v^r = u'v (аго)4- w (a'o)u', т. е. (uv)' = u'v + uv', что и

Требовалось доказать. А

Следствие. Если функция и дифференцируема в хо, а С — постоянная, то функция Си дифференцируема в этой точке и

(Си)' = Си'.

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным из п. 13 фактом С'= 0:

{Си)' = С'и 4- Си' = 0 • и 4- Си' = Си'.

Правило 3. Если функции и и v дифференцируемы в точке

Хо и функция v не равна нулю в этой точке, то частное — также дифференцируемо в хо и

(

и \ 'и'V — uv'

V ) V²

V Выведем сначала формулу

1) Найдем приращение функции

V