![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В этом пункте мы получили следующие формулы дифференцирования:
(х2)' = 2х, (х3)' = Зх2, (kx-\-b)' = k.
Полагая в формуле (kx-\-b)' = k, что k = 0, b = C, где С — произвольная постоянная, получаем, что С' = 0, т. е. производная постоянной равна нулю.
Упражнения
188. Постройте график функции f и проведите к нему касательную, проходящую через точку с абсциссой *о- Пользуясь рисунком, определите знак углового коэффициента этой касательной:
а) f (х) = х2 — 2х — 3, х0 = 0, Xo = 3, х0 = 2, jc0= —1,
б) f(x) = ~ |-1, Хо=— 2, хс=1, х0= — 1, х0 = 2.
![]() |
![]() |
189. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции (рис. 85) через точки с абсциссой Х\, х2, *з, *4 (если касательная существует). Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс? В окрестности каких точек график функции является «гладкой» кривой?
190. Запишите промежутки возрастания и убывания функции (рис. 86). Определите знак углового коэффициента касательной в каждой из точек, отмеченных на графике.
191. Вычислите в точке хо, если:
Ах
а) f (х) = 2х2, х0 = 1, Ах равно 0,5; 0,1; 0,01;
б) f (x) = x2, *0 = 1, Ах равно 0,5; 0,1; 0,01.
192. К какому числу стремится отношение ~ при Дх->0, если:
а) -^-=8*0 + 4Дх, хо равно 2; —1;
б) ^=Зхо + ЗхоДх + (Дх)2, Хо равно 1; —21;
в) -|^=Зхо —2Дх, х0 равно 4; 1;
г) — 2хо + Дх, хо равно 1; 2?
193. Используя формулы дифференцирования, полученные в п. 13, найдите производную функции f в точке х0, если:
а) f {х)=х3, х0 равно 2; —1,5;
б) f{x) — 4 —2х, х0 равно 0,5; —3;
в) f (х) — Зх —2, Хо равно 5; —2;
г) f(x) = x2, х0 равно 2,5; —1.
194. Пользуясь определением производной, найдите значения производной функции f, если:
а) f (х)=х2 — Зх в точках —1; 2;
б) f (х) = 2х3 в точках 0; 1;
в) f(x)=-j- в точках —2; 1;
г) f (х) = 4 — х2 в точках 3; 0.
195. Найдите уравнение касательной к графику функции f (jc) = jc2, проходящей через его точку с абсциссой *о, если:
a) xq = — 1; б) *0 = 3; в) лг0 = 0; г) х0 = 2.
196. Пользуясь определением, найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону х (t), в момент to:
a) *(/)^_/2 + 81, to — 6\ б) х (f) = 3/3 + 2, t0 — 2\
в) x (t)=-j-, /о=4; г) x(t)=5t— 3, /0=Ю.
14. Понятие о непрерывности функции и предельном переходе
Вернемся к задаче определения мгновенной скорости в точке
to (см формулу (3) п. 13). Функция vcp(At) = Vo—gto — g‘Y'
не определена при Д/ = 0. Но для числа L = vo — gto при уменьшении |Д/| разность vcp (At) — L приближается к нулю. Именно поэтому мы писали vcp(At)->vo — gto при Д/->0.
Вообще говорят, что функция f стремится к числу L при х, стремящемся к хо, если разность f(x) — L сколь угодно мала, т. е. \f(x) — L\ становится меньше любого фиксированного 0 при уменьшении | Длг |, где Ах — х—хо. (Значение х=хо не рассматривается, как и в задаче определения мгновенной скорости.) Вместо х-*~хо можно, конечно, писать Дх->-0.
Нахождение числа L по функции f называют предельным переходом. Вы будете иметь дело с предельными переходами в двух следующих основных случаях.
Первый случай — это предельный переход в разностном
д f „ ~
отношении т. е. нахождение производной. С этим случаем
вы познакомились в предыдущем пункте.
Второй случай связан с понятием непрерывности функции. Если f (x)-*-f (*о) при х-*-хо, то функцию называют непрерывной в точке *о- При этом f (х) —L = f (x) — f (xo) — Af\ получаем, что |Д/| мало при малых |Дх|, т. е. малым изменениям аргумента в точке *о соответствуют малые изменения значений функции. Все известные вам элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения. Графики таких функций изображаются непрерывными кривыми на каждом промежутке, целиком входящем в область определения. На этом и основан способ построения графиков «по точкам», которым вы все время пользуетесь. Но при этом, строго говоря, надо предварительно выяснить, действительно ли рассматриваемая функция непрерывна. В простейших случаях такое исследование проводят на основании определения непрерывности.
О Пример 1. Докажем, что линейная функция f (х) = kx + 6 непрерывна в каждой точке числовой прямой.
Нам нужно показать, что |Д/| становится меньше любого фиксированного h> 0 при малых |Дх[. Но | Д/| = |/(х0 + Ах) — —7 (*о)1 = \k(х0 + Дх)-|-6) — (kxo + b)\ = |&| |Дх| и ]Д/| будет меньше h>О, если взять IДлг| ПРИ кфО (при k = 0 можно брать любое Дх).
Пример 2. Докажем, что функция f (х) = ^/х непрерывна в точке хо при х0>0.
Прежде всего отметим, что Ах мы будем выбирать таким, что |Дх|^хо; тогда Ух=л/хо + Дх определен. Оценим разность
Ух — Vw ____ ___________ г-
| А/| = [Ух0 + Дх-У^Г 1 = (У*о+ A* ^/gjVx0-t-Ах ±J^) I =
\Xo~\~Kx -f- \Хо = | Ал- | < 1 Ах|
+ Ах -}~Ухо^ л/хо
Легко видеть, что 1Д/1 станет меньше О, если взять |Дх| меньше Ухоh (и, как мы отмечали выше, меньше хо). #
\7 В задаче определения мгновенной скорости число имгн(^о) было определено так, что функция уср(Д0» «дополненная» в нуле числом имги, становится непрерывной в этой точке. Та же ситуация и в задаче определения углового коэффициента касательной: функция g (Дх) = 2хо + Ах станет непрерывной в этой точке, если считать, что g(0) = 2xo. А
Как видно из примеров предыдущего пункта, новая операция — предельный переход — служит новым средством нахождения неизвестных величин. Ею мы будем широко пользоваться в этой главе. Выделим правила предельного перехода, которые доказываются в курсах математического анализа.
Правило 1. Если функция f непрерывна в точке хо, то Д/—>-0 при Дх->0.
Правило 2. Если функция f имеет производную в точке
хо, то j^-+f'(xo) при Дх-*-0.
Правила 1 и 2 сразу следуют из определений непрерывности функции f в точке х0 и производной в точке Хо.
Правило 3. Пусть f (х)->Л, g (х)->£ при х-*-Хо. Тогда при х->хо (т. е. при Лх-*~0):
а) f(x) + g(x)-+A + B\
б) f (x)‘g{x)-+A’B\
в) тм -*£ (пРиВ*°)-
Для непрерывных функций fug
A=f(x о), B = g(x о)
и эти правила означают, что сумма, произведение и частное непрерывных в точке *о функций непрерывны в точке хо (частное в случае, когда g(xQ)^0).
Правила предельного перехода широко используются при доказательстве непрерывности функций и выводе формул дифференцирования.
ОПример 3. Докажем, что функция h (х)~ IQx+^fx непрерывна в любой точке *о промежутка (0; оо). Непрерывность функций f(x)—\0x и g (x)—^fx была доказана в примерах 1 и 2. Следовательно, функция h непрерывна как сумма двух непрерывных функций (правило 3, а).
Пример 4. Докажем, что f'(x)=——, где f (x)=V*.
2 Ух
1) Для произвольной ТОЧКИ Хо
Д^ =---- А*----
~фс o"-f- V*o Дх
(см. пример 2).
2) М.=------ 1 -
Ах V^+ л/хо + А*
3) У*0 + Дх-^У*(Г при Аде:—>-0 по правилу 1, так как функция -фс непрерывна в точке хо (см. пример 2), поэтому л[хо-\-л!хо-\- Ах-*-
-+2т/х^ при Длг-^О (по правилу 3, а) и -=—1— при
V^-+Vxo + Ax 2л/^
Дл:->0 (по правилу 3, в). Итак,
(л/*)'=тт=-
2 ух
для любого положительного х. ф Упражнения
197. Является ли непрерывной в каждой из точек хх, х2, *з функция, график которой изображен на рисунке 87?
198. Постройте график функции f. Содержится ли в ее области определения точка, в которой функция не является непрерывной?
а> «) pl^O;
![]() |
![]() |
-}-2 при x< 1, при xZ&z 1.
199. Является ли функция / непрерывной в каждой точке данного промежутка:
a) f (х) = х3 — 4х, (— оо; оо); б) /(х) = -^-,[2; оо);
в) f (х) = х2 + 2х — 1, [—10; 20]; г) f (х) = Ьх — ~фс, (0; оо)?
200. К какому числу стремится функция /, если:
a) f{x) = x2 — Зх-{-4, лг-^0, х->2;
, х-+-\, х-+4;
Xе+\
в) f(x)=4—х-
г) f{x) = 4x—х—>— 1, х->4?
201. Известно, что /(х)->1, g {х)-*~ — 2 при х-»-3. К какому числу при х-»-3 стремится функция:
а) 3 f(x)g(x); б в) 4f(x)-g(x); г) (3- g (х)) f (х)?
202. Известно, что f (х)-+ 3, g (*)-> — 0,5 при лг-> — 1. Найдите число, к которому при х-*>—1 стремится функция: а) б) (fW~gW)2;
в) tfWJ* + 2gW; r)|g.
203. К какому числу стремится функция:
v г / \ ^ “Ь Зх -{-2 а
а) f(x)= х-з ' при
б) /(Х)=х^2х + 7 ПРИ *-♦—I;
в) при л'^2;
г) = при 1?
204. С какой точностью найден периметр квадрата, если его сторона измерена с точностью до 0,01 дм?
205. С какой точностью достаточно измерить сторону правильного треугольника, чтобы найти его периметр с точностью 0,03 дм?
206. С какой точностью нужно измерить радиус, чтобы вычислить длину окружности с точностью до 0,06 дм?
207. Известно, что f [х)-*-А, g (*)->В при х-+а. Пользуясь правилами предельного перехода, докажите, что:
а) С f (х)-+С-А, где С — постоянная;
б) f(x)-g{x)-+A-B\
в) (f(x)?-(g(x)f^A*-B*-,
г) {f(x)Y~+Ant где «6Z.
15. Правила вычисления производных
1. Основные правила дифференцирования. Выведем несколько правил вычисления производных. В этом пункте значения функций и и v и их производных в точке хо обозначаются для краткости так: и(х0) = и, v(x0) = v, и'(xG) = u', v' (xx)) = v'.
Правило 1. Если функции и и v дифференцируемы в точке А'о, то их сумма дифференцируема в этой точке и
(u-\-v)' = и'
Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.
1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке:
А {и + v) — и (*о + Ах) + v (хо4- А*) — (и (х0) + v ^х0)) =
= (и (х0 4- А*) — и (х0)) 4- (v (xq 4- А*) — v (хо)) = А и + До.
Г)Ч Д {и 4~ t>) Ml. Av
Ax Ax Ax
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 2157 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!