Нахождение производной данной функции f называется диф­ференцированием

В этом пункте мы получили следующие формулы дифференци­рования:

(х²)' = 2х, (х³)' = Зх², (kx-\-b)' = k.

Полагая в формуле (kx-\-b)' = k, что k = 0, b = C, где С — произвольная постоянная, получаем, что С' = 0, т. е. производ­ная постоянной равна нулю.

Упражнения

188. Постройте график функции f и проведите к нему касатель­ную, проходящую через точку с абсциссой *о- Пользуясь рисунком, определите знак углового коэффициента этой каса­тельной:

а) f (х) = х² — 2х — 3, х₀ = 0, Xo = 3, х₀ = 2, jc₀= —1,

б) f(x) = ~ |-1, Хо=— 2, х_с=1, х₀= — 1, х₀ = 2.

189. Определите знак углового коэффициента касательной, прове­денной к графику функции (рис. 85) через точки с абсциссой Х\, х₂, *з, *4 (если касательная существует). Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс? В окрестности каких точек график функции явля­ется «гладкой» кривой?

190. Запишите промежутки возрастания и убывания функции (рис. 86). Определите знак углового коэффициента касатель­ной в каждой из точек, отмеченных на графике.

191. Вычислите в точке хо, если:

Ах

а) f (х) = 2х², х₀ = 1, Ах равно 0,5; 0,1; 0,01;

б) f (x) = x², *0 = 1, Ах равно 0,5; 0,1; 0,01.

192. К какому числу стремится отношение ~ при Дх->0, если:

а) -^-=8*0 + 4Дх, хо равно 2; —1;

б) ^=Зхо + ЗхоДх + (Дх)², Хо равно 1; —21;

в) -|^=Зхо —2Дх, х₀ равно 4; 1;

г) — 2хо + Дх, хо равно 1; 2?

193. Используя формулы дифференцирования, полученные в п. 13, найдите производную функции f в точке х₀, если:

а) f {х)=х³, х₀ равно 2; —1,5;

б) f{x) — 4 —2х, х₀ равно 0,5; —3;

в) f (х) — Зх —2, Хо равно 5; —2;

г) f(x) = x², х₀ равно 2,5; —1.

194. Пользуясь определением производной, найдите значения про­изводной функции f, если:

а) f (х)=х² — Зх в точках —1; 2;

б) f (х) = 2х³ в точках 0; 1;

в) f(x)=-j- в точках —2; 1;

г) f (х) = 4 — х² в точках 3; 0.

195. Найдите уравнение касательной к графику функции f (jc) = jc², проходящей через его точку с абсциссой *о, если:

a) xq = — 1; б) *0 = 3; в) лг₀ = 0; г) х₀ = 2.

196. Пользуясь определением, найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону х (t), в мо­мент to:

a) *(/)^_/² + 81, to — 6\ б) х (f) = 3/³ + 2, t₀ — 2\

в) x (t)=-j-, /о=4; г) x(t)=5t— 3, /₀=Ю.

14. Понятие о непрерывности функции и предельном переходе

Вернемся к задаче определения мгновенной скорости в точке

to (см формулу (3) п. 13). Функция v_cp(At) = Vo—gto — g‘Y'

не определена при Д/ = 0. Но для числа L = vo — gto при уменьше­нии |Д/| разность v_cp (At) — L приближается к нулю. Именно поэ­тому мы писали v_cp(At)->vo — gto при Д/->0.

Вообще говорят, что функция f стремится к числу L при х, стре­мящемся к хо, если разность f(x) — L сколь угодно мала, т. е. \f(x) — L\ становится меньше любого фиксированного 0 при уменьшении | Длг |, где Ах — х—хо. (Значение х=хо не рассматри­вается, как и в задаче определения мгновенной скорости.) Вместо х-*~хо можно, конечно, писать Дх->-0.

Нахождение числа L по функции f называют предельным пе­реходом. Вы будете иметь дело с предельными переходами в двух следующих основных случаях.

Первый случай — это предельный переход в разностном

д f „ ~

отношении т. е. нахождение производной. С этим случаем

вы познакомились в предыдущем пункте.

Второй случай связан с понятием непрерывности функции. Ес­ли f (x)-*-f (*о) при х-*-хо, то функцию называют непрерывной в точке *о- При этом f (х) —L = f (x) — f (xo) — Af\ получаем, что |Д/| мало при малых |Дх|, т. е. малым изменениям аргумента в точке *о соответствуют малые изменения значений функции. Все извест­ные вам элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения. Графики таких функций изображаются не­прерывными кривыми на каждом промежутке, целиком входящем в область определения. На этом и основан способ построения гра­фиков «по точкам», которым вы все время пользуетесь. Но при этом, строго говоря, надо предварительно выяснить, действитель­но ли рассматриваемая функция непрерывна. В простейших слу­чаях такое исследование проводят на основании определения непрерывности.

О Пример 1. Докажем, что линейная функция f (х) = kx + 6 непрерывна в каждой точке числовой прямой.

Нам нужно показать, что |Д/| становится меньше любого фиксированного h> 0 при малых |Дх[. Но | Д/| = |/(х₀ + Ах) — —7 (*о)1 = \k(х₀ + Дх)-|-6) — (kxo + b)\ = |&| |Дх| и ]Д/| будет мень­ше h>О, если взять IДлг| ^ПР^И кфО (при k = 0 можно брать любое Дх).

Пример 2. Докажем, что функция f (х) = ^/х непрерывна в точке хо при х₀>0.

Прежде всего отметим, что Ах мы будем выбирать таким, что |Дх|^хо; тогда Ух=л/хо + Дх определен. Оценим разность

Ух — Vw ____ ___________ _г-

| А/| = [Ух₀ + Дх-У^Г 1 = (У*о+ A* ^/gjVx₀-t-Ах ±J^) I ₌

\Xo~\~Kx -f- \Хо ₌ | Ал- | _< 1 Ах|

+ Ах -}~Ухо^ л/хо

Легко видеть, что 1Д/1 станет меньше О, если взять |Дх| меньше Ухоh (и, как мы отмечали выше, меньше хо). #

\7 В задаче определения мгновенной скорости число и_мгн(^о) было определено так, что функция у_ср(Д0» «дополненная» в нуле числом и_мги, становится непрерывной в этой точке. Та же ситуа­ция и в задаче определения углового коэффициента касатель­ной: функция g (Дх) = 2хо + Ах станет непрерывной в этой точке, если считать, что g(0) = 2xo. А

Как видно из примеров предыдущего пункта, новая опера­ция — предельный переход — служит новым средством нахож­дения неизвестных величин. Ею мы будем широко пользоваться в этой главе. Выделим правила предельного перехода, которые доказываются в курсах математического анализа.

Правило 1. Если функция f непрерывна в точке хо, то Д/—>-0 при Дх->0.

Правило 2. Если функция f имеет производную в точке

хо, то j^-+f'(^xo) при Дх-*-0.

Правила 1 и 2 сразу следуют из определений непрерывности функции f в точке х₀ и производной в точке Хо.

Правило 3. Пусть f (х)->Л, g (х)->£ при х-*-Хо. Тогда при х->хо (т. е. при Лх-*~0):

а) f(x) + g(x)-+A + B\

б) f (x)‘g{x)-+A’B\

^в) тм -*£ (^пР^иВ*°)-

Для непрерывных функций fug

A=f(x о), B = g(x о)

и эти правила означают, что сумма, произведение и частное непрерывных в точке *о функций непрерывны в точке хо (частное в случае, когда g(x_Q)^0).

Правила предельного перехода широко используются при до­казательстве непрерывности функций и выводе формул дифферен­цирования.

ОПример 3. Докажем, что функция h (х)~ IQx+^fx непре­рывна в любой точке *о промежутка (0; оо). Непрерывность функций f(x)—\0x и g (x)—^fx была доказана в примерах 1 и 2. Следовательно, функция h непрерывна как сумма двух непрерыв­ных функций (правило 3, а).

Пример 4. Докажем, что f'(x)=——, где f (x)=V*.

2 Ух

1) Для произвольной ТОЧКИ Хо

Д^ =---- ^А*----

~фс o"-f- V*o Дх

(см. пример 2).

2) М.₌------ ¹ -

Ах V^+ л/^хо + А*

3) У*₀ + Дх-^У*(Г при Аде:—>-0 по правилу 1, так как функция -фс непрерывна в точке хо (см. пример 2), поэтому л[хо-\-л!хо-\- Ах-*-

-+2т/х^ при Длг-^О (по правилу 3, а) и -=—¹— при

V^-+Vxo + Ax 2л/^

Дл:->0 (по правилу 3, в). Итак,

(л/*)'=тт=-

2 ух

для любого положительного х. ф Упражнения

197. Является ли непрерывной в каждой из точек х_х, х₂, *з функ­ция, график которой изображен на рисунке 87?

198. Постройте график функции f. Содержится ли в ее области определения точка, в которой функция не является непре­рывной?

а> «) pl^O;

Рис. 87

-}-2 при x< 1, при xZ&z 1.

199. Является ли функция / непрерывной в каждой точке данного промежутка:

a) f (х) = х³ — 4х, (— оо; оо); б) /(х) = -^-,[2; оо);

в) f (х) = х² + 2х — 1, [—10; 20]; г) f (х) = Ьх — ~фс, (0; оо)?

200. К какому числу стремится функция /, если:

a) f{x) = x² — Зх-{-4, лг-^0, х->2;

, х-+-\, х-+4;

X^е+\

в) f(x)=4—х-

г) f{x) = 4x—х—>— 1, х->4?

201. Известно, что /(х)->1, g {х)-*~ — 2 при х-»-3. К какому числу при х-»-3 стремится функция:

а) 3 f(x)g(x); б _в) 4f(x)-g(x); г) (3- g (х)) f (х)?

202. Известно, что f (х)-+ 3, g (*)-> — 0,5 при лг-> — 1. Найдите число, к которому при х-*>—1 стремится функция: ^{а) б) (fW}~^gW)2;

в) tfWJ* + 2gW; r)|g.

203. К какому числу стремится функция:

v г / \ ^ “Ь Зх -{-2 а

^а) f(^x)= _х-з ' ^при

^б) /(^Х)=_х^2х + 7 ^ПР^И *-♦—I;

^в) ^{при л}'^^2;

^г) ⁼ при 1?

204. С какой точностью найден периметр квадрата, если его сто­рона измерена с точностью до 0,01 дм?

205. С какой точностью достаточно измерить сторону правильного треугольника, чтобы найти его периметр с точностью 0,03 дм?

206. С какой точностью нужно измерить радиус, чтобы вычислить длину окружности с точностью до 0,06 дм?

207. Известно, что f [х)-*-А, g (*)->В при х-+а. Пользуясь прави­лами предельного перехода, докажите, что:

а) С f (х)-+С-А, где С — постоянная;

б) f(x)-g{x)-+A-B\

в) (f(x)?-(g(x)f^A*-B*-,

^г) {f(x)Y~+Aⁿ_t где «6Z.

15. Правила вычисления производных

1. Основные правила дифференцирования. Выведем несколько правил вычисления производных. В этом пункте значения функ­ций и и v и их производных в точке хо обозначаются для кратко­сти так: и(х₀) = и, v(x₀) = v, и'(x_G) = u', v' (x_x)) = v'.

Правило 1. Если функции и и v дифференцируемы в точке А'о, то их сумма дифференцируема в этой точке и

(u-\-v)' = и'

Коротко говорят: производная суммы равна сумме произ­водных.

1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке:

А {и + v) — и (*о + Ах) + v (хо4- А*) — (и (х₀) + v ^х₀)) =

= (и (х₀ 4- А*) — и (х₀)) 4- (v (xq 4- А*) — v (хо)) = А и + До.

Г)Ч Д {и 4~ t>) Ml. Av

Ax Ax Ax