Рассмотрим конкретный пример. Найдем мгновенную скорость тела, брошенного вверх со скоростью vq. Высота его в момент t

at²

находится по известной формуле h (t) = vo t — ~.

1) Найдем сначала Дh:

Mi (/) = VO (to+\t) - £МЖ _ _Vot _0+Oo Ы _ gt₀U -

, a i (AO U'O — gto) At — g

2) v_cp{M)= ------ —----- =v_Q — gto— ^ (3)

3) Будем теперь уменьшать At, приближая его к нулю. ^Для краткости говорят, что At стремится к нулю. Это записывается так: Л/->0.)

_IZ gAt

Как легко понять, в этом случае значение — тоже стре­мится к нулю, т. е.

——•-->-0 при At—

А поскольку величины v₀ и —gto, а значит, и vo — gto постоян­ны, из формулы (3) получаем:

T;cp (ДО vo — gto при At 0.

Итак, мгновенная скорость точки в момент времени t0 нахо­дится по формуле

Vmvh (At)= VQ — gto.

3. Производная. Рассмотренные две задачи о вычислении уг­лового коэффициента касательной к параболе в точке с абсциссой jc₀ = 1 и нахождении мгновенной скорости тела, брошенного вверх со скоростью vo, имели различные формулировки. Однако в обоих случаях мы действовали, по существу, придерживаясь одной схе­мы. В применении к произвольной функции f и любой точке х₀ ее области определения эта схема может быть описана следующим образом.

1) С помощью формулы, задающей функцию f, находим ее приращение в точке

= f{x о + Д*) — f (хо).

2) Находим выражение для разностного отношения

N _f (лсо + Алс) —f (хо)

Лх Дх ’

Которое затем преобразуем — упрощаем, сокращаем на Дх и т. п.

3) Выясняем, к какому числу стремится, если считать, что Дх стремится к нулю. *

Найденное таким образом число иногда называется (по анало­гии с физикой) скоростью изменения функции f в точке хо или (что более принято) производной функции f в точке Хо.