Область сходимости степенного ряда

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при некотором значении
, то он сходится, и притом абсолютно, в интервале , т.е.
при всех значениях х, таких что . Если степенной ряд расходится
при , то он расходится при всех значениях х, таких что .

Из теоремы Абеля следует, что область сходимости степенного ряда
представляет собой интервал числовой оси, симметричный относительно
точки , который может быть закрытым, открытым или полуоткрытым.

Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, что
для всех х, таких что , степенной ряд сходится, а для всех х, таких
что , степенной ряд расходится. Интервал называется интер-валом сходимости.

Радиус сходимости R степенного ряда при находится по сле-дующей формуле: . (15.9)

Степенные ряды находят широкое применение в самых разнообразных
приложениях. В частности, с их помощью: вычисляют с заданной степенью точности приближенные значения различных сложных функций, а также
«неберущихся» определенных интегралов; интегрируются дифференциальные
уравнения и др.

Пример. Исследовать сходимость ряда:

.

Решение: Данный функциональный ряд является знакочередующимся.
Исследуем его абсолютную сходимость, используя признак Д′Аламбера.
Запишем выражения для членов ряда с номерами n и (n+ 1): , . Составим отношение их абсолютных значений
и найдем его предельное значение при :

,
и

Таким образом: . Согласно признаку Д′Аламбера, данный ряд
сходится (абсолютно) при . Решая это неравенство относительно
переменной х, получим: ; ; т.е.: .

Ряд расходится (абсолютно) при , т.е. при .

Отдельно исследуем случай , что соответствует . Откуда
получим значения граничных точек между областями сходимости и расходимости: . В этих точках признак Д′Аламбера не решает вопрос
о сходимости ряда.

При получим числовой ряд с положительными членами ,
который расходится, что следует из сравнения его с гармоническим рядом
(поскольку каждый член исследуемого ряда больше соответствующего
члена гармонического ряда).

При получим числовой знакочередующийся ряд ,
который сходится согласно признаку Лейбница (члены ряда убывают
по абсолютному значению, стремясь к нулю).

ВЫВОД: Интервалом сходимости рассматриваемого степенного ряда
является полуоткрытый интервал .

Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора

Разложить функцию в некоторой окрестности точки в сте-пенной ряд означает представить ее в этой окрестности в виде суммы:

. (15.10)

Замена сложной функции таким простым выражением, как многочлен,
оказывается очень удобной в различных приложениях.

Можно показать, что если функция бесконечно дифференцируема
в некоторой окрестности точки , то коэффициенты разложения функции
в степенной ряд однозначно вычисляются по формулам:

; ; ;...; ....

Подставляя, получим:

.

Это выражение носит название ряд Тейлора, а коэффициенты
, , ,..., ,... называются коэффициентами Тейлора функции в окрестности точки .

Обозначим частичную сумму ряда Тейлора как:

.(15.11)

Остаточным членом ряда Тейлора для функции называется
разность:

.

Существует также иное выражение для , называемое записью
остаточного члена ряда Тейлора в форме Лагранжа: , где .

Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора функции в точке
сходился значению , необходимо и достаточно, чтобы остаточный
член стремился к нулю , т.е.: .

Из этой теоремы вытекает следующее правило. Для нахождения интервала, в котором ряд Тейлора сходится к заданной функции , следует выяснить: для каких значений аргумента х остаточный член стремился к нулю .