![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при некотором значении
, то он сходится, и притом абсолютно, в интервале
, т.е.
при всех значениях х, таких что . Если степенной ряд расходится
при , то он расходится при всех значениях х, таких что
.
Из теоремы Абеля следует, что область сходимости степенного ряда
представляет собой интервал числовой оси, симметричный относительно
точки , который может быть закрытым, открытым или полуоткрытым.
Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, что
для всех х, таких что , степенной ряд сходится, а для всех х, таких
что , степенной ряд расходится. Интервал
называется интер-валом сходимости.
Радиус сходимости R степенного ряда при находится по сле-дующей формуле:
. (15.9)
Степенные ряды находят широкое применение в самых разнообразных
приложениях. В частности, с их помощью: вычисляют с заданной степенью точности приближенные значения различных сложных функций, а также
«неберущихся» определенных интегралов; интегрируются дифференциальные
уравнения и др.
Пример. Исследовать сходимость ряда:
.
Решение: Данный функциональный ряд является знакочередующимся.
Исследуем его абсолютную сходимость, используя признак Д′Аламбера.
Запишем выражения для членов ряда с номерами n и (n+ 1): ,
. Составим отношение их абсолютных значений
и найдем его предельное значение при :
,
и
Таким образом: . Согласно признаку Д′Аламбера, данный ряд
сходится (абсолютно) при . Решая это неравенство относительно
переменной х, получим: ;
; т.е.:
.
Ряд расходится (абсолютно) при , т.е. при
.
Отдельно исследуем случай , что соответствует
. Откуда
получим значения граничных точек между областями сходимости и расходимости: . В этих точках признак Д′Аламбера не решает вопрос
о сходимости ряда.
При получим числовой ряд с положительными членами
,
который расходится, что следует из сравнения его с гармоническим рядом
(поскольку каждый член исследуемого ряда больше соответствующего
члена гармонического ряда).
При получим числовой знакочередующийся ряд
,
который сходится согласно признаку Лейбница (члены ряда убывают
по абсолютному значению, стремясь к нулю).
ВЫВОД: Интервалом сходимости рассматриваемого степенного ряда
является полуоткрытый интервал .
Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора
Разложить функцию в некоторой окрестности точки
в сте-пенной ряд означает представить ее в этой окрестности в виде суммы:
. (15.10)
Замена сложной функции таким простым выражением, как многочлен,
оказывается очень удобной в различных приложениях.
Можно показать, что если функция бесконечно дифференцируема
в некоторой окрестности точки , то коэффициенты разложения функции
в степенной ряд однозначно вычисляются по формулам:
;
;
;...;
....
Подставляя, получим:
.
Это выражение носит название ряд Тейлора, а коэффициенты
,
,
,...,
,... называются коэффициентами Тейлора функции
в окрестности точки
.
Обозначим частичную сумму ряда Тейлора как:
.(15.11)
Остаточным членом ряда Тейлора для функции называется
разность:
.
Существует также иное выражение для , называемое записью
остаточного члена ряда Тейлора в форме Лагранжа: , где
.
Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора функции в точке
сходился значению , необходимо и достаточно, чтобы остаточный
член стремился к нулю
, т.е.:
.
Из этой теоремы вытекает следующее правило. Для нахождения интервала, в котором ряд Тейлора сходится к заданной функции , следует выяснить: для каких значений аргумента х остаточный член
стремился к нулю
.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 317 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!