Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Дифференциальные уравнения. При изучении интегралов перед нами стояла задача: найти y, если y¢ = f(x),



Основные понятия

При изучении интегралов перед нами стояла задача: найти y, если y¢ = f(x),

или dy = f(x)dx. Решение, как известно, дается формулой y = ò f(x)dx

и сводится, таким образом, к вычислению неопределенного интеграла. Однако на практике значительно чаще встречается гораздо более сложная задача: найти функцию y, если известно, что она удовлетворяет данному соотношению вида

F(x, y, y¢, y¢¢,..., y(n)) = 0. (14.1.)

Такого рода соотношения, связывающие независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные до некоторого порядка n включительно, называются дифференциальными уравнениями.

В дифференциальном уравнении, таким образом, неизвестной является функция, входящая в уравнение под знаком производных (или дифференциалов) того или иного порядка. Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения.

Например:

y¢ - x2y + x3 = 0 - уравнение первого порядка,

y¢¢ + 4y¢ + cos x = 0 - уравнение второго порядка,

x y(5) + yy¢¢¢ = 1 - уравнение пятого порядка и т. д.

Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения. Если для искомой функции y нам удалось получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то мы говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения n -го порядка содержит n произвольных постоянных с1, с2,..., cn и имеет вид

y = j(x, с1, с2,..., cn).

Если соотношение, связывающее x, y и n произвольных постоянных, получено в виде, не разрешенном относительно y -

Ф(x, y, с1, с2,..., cn) = 0,

то будем называть такое соотношение общим интегралом уравнения (9.1).

В противовес общему решению каждое конкретное решение, т. е. каждая конкретная функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению и не зависящая от произвольных постоянных, называется частным решением, или частным интегралом. Частные решения (интегралы) получаются из общего, когда постоянным с1, с2,..., cn придают конкретные числовые значения.

График каждого частного решения называется интегральной кривой. Поэтому общее решение, содержащее все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых. В случае уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной, в случае уравнения n -го порядка - от n произвольных постоянных.

Дифференциальные уравнения 1,2 –го порядка

В задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение для уравнения n -го порядка, удовлетворяющее n начальным условиям:

y(xo) = yo, y¢(xo) = yo¢,..., y(n-1)(xo) = yo(n-1),

по которым определяются n постоянных с1, с2,..., cn. Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет общий вид

F(x, y, y¢) = 0,

или вид, разрешенный относительно y¢:

y¢ = f(x, y).

Пример. Найти общее решение уравнения y¢ = 3x.

Решение. Интегрируя, находим

y = ò 3x dx, y = 3x2/2 + C,

где С - произвольная постоянная. Придавая С конкретные числовые значения, будем получать частные решения, например,

y = 3x2/2 (С= 0),

y = 3x2/2 + 5 (С = 5)

и т.д.

Задание 1. Найти общее решение уравнения y¢ = 5x.

Пример. Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при условии начисления 100 rсложных процентов в год. Пусть Yo обозначает начальную денежную сумму, а Yx - денежную сумму по истечении x лет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели

Yx+1 = (1+r)Yx,

где x = 0, 1, 2, 3,.... Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечении каждого полугодия), то мы имели бы

Yx+1/2 = (1 + r/2)Yx,

где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Вообще, если проценты начисляются n раз в год и x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда

Yx+1/n = (1 + r/n)Yx,

то есть

.

Если обозначить 1/n = h, то предыдущее равенство перепишется так:

.

Неограниченно увеличивая n (при n®¥, h®0) мы в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:

,

то есть при непрерывном изменении x закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1- го порядка. Отметим для четкости, что Yx - неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Для решения данного уравнения перепишем его следующим образом:

откуда Yx = e r x+C, или Yx = P e r x, где через P обозначено eC.

Учитывая начальное условие Y(0) = Yo, найдем P: Yo = Peo, следовательно, Yo = P. Решение имеет вид:

Yx =Yo e r x.

Рассмотрим еще одну экономическую задачу. Простейшие макроэкономические модели также приводят к линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.

Пример. Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

,

и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:

dD/dt = qY.

Здесь мы считаем переменные Y и D непрерывными и дифференцируемыми функциями времени t. Пусть начальные условия имеют вид
Y = Yo и D = Do при t = 0. Из первого уравнения мы получаем, учитывая
начальные условия, Y= Yo e k t. Подставляя Y во второе уравнение, получаем dD/dt = qYo e k t. Общее решение этого уравнения имеет вид
D = (q/ k) Yo e k t +С, где С = const, которую мы определим из начальных условий. Подставляя начальные условия в полученное решение, мы получаем Do = (q/ k)Yo + С. Итак, окончательно,

D = Do+(q/ k)Yo (e k t -1),

то есть, национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k, что и национальный доход.

Простейшим дифференциальным уравнением n -го порядка является уравнение

y(n) = f(x).

Его общее решение можно получить с помощью n интегрирований.





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 461 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...