Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница)

Знакочередующийся ряд сходится, если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю, т.е. если:

, и ,

а ошибка, возникающая при замене суммы этого ряда на его частичную
сумму, меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

При практическом использовании сходящихся рядов часто ограничи-ваются их частичной суммой, включающей лишь несколько первых членов.
Допускаемая при этом ошибка (остаток ряда) наиболее просто оценивается
для знакочередующихся рядов.

Согласно признаку Лейбница, ошибка, возникающая при замене суммы
сходящегося знакочередующегося ряда (с убывающими по абсолютной
величине членами) на его частичную сумму, меньше абсолютного значения
первого из отброшенных членов.

Рассмотрим примеры.

Пример. Исследовать сходимость ряда:

.

Решение: Исследуемый ряд является знакочередующимся. Воспользуемся
признаком Лейбница:

, и .

Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится.

Пример. Исследовать абсолютную сходимость ряда из предыдущего
примера 13.2.1:

.

Решение: Для исследования абсолютной сходимости составим ряд,
состоящий из абсолютных значений:

.

Полученный ряд содержит положительные убывающие члены
. Применим интегральный признак Коши:

Поскольку интеграл является расходящимся, то, согласно интегральному
признаку Коши, соответствующий ряд тоже расходится.

Степенные ряды

Ряд , (15.6) члены которого являются функциями аргумента x, называется функциональным.

При различных значениях x из функционального ряда получаются
различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расхо-дящимися.

Совокупность значений x, при которых функциональный ряд сходится,
называется его областью сходимости.

Для определения области сходимости функциональных рядов обычно
используется признак Д′Аламбера. Отдельно исследуются те значения x,
для которых признак Д′Аламбера не решает вопроса о сходимости ().

Из большого разнообразия функциональных рядов часто рассматриваются и используются степенные ряды, имеющие вид:

, (15.7)

или их частный случай (при ):

. (15.8)