Типы дифференциальных уравнений

Линейное

Пример. Решить уравнение y¢¢¢ = cos x.

Решение. Интегрируя, находим

y¢¢ = ò cos x dx = sin x + C_1,

y¢ = ò (sin x + C₁)dx = - cos x + C₁x + С_2,

y = ò (- cos x + C₁x +C₂)dx = - sin x + C₁x²/2 +C₂x+C₃.

Итак, общее решение

y = - sin x + C₁x²/2 +C₂x+C₃.

В математической экономике большое применение находят линейные дифференциальные уравнения, и поэтому мы рассмотрим решение таких уравнений. Дифференциальное уравнение (14.1) называется линейным, если имеет вид:

р_o(x)y⁽ⁿ⁾(x) + р₁(x)y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}(x)y¢(x) + р_n(x)y(x) = f(x), (14.2)

где р_o(x), р₁(x),..., р_n(x), f(x) - данные функции. Если f(x) º 0, то уравнение (9.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Общее решение уравнения (9.2) есть сумма какого-либо его частного решения y(x) и общего решения соответствующего однородного уравнения:

р_o(x)y⁽ⁿ⁾(x) + р₁(x)y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}(x)y¢(x) + р_n(x)y(x) = 0. (14.3)

Однородное

Если коэффициенты р_o(x), р₁(x),..., р_n(x) постоянные, то уравнение (14.2) принимает вид:

р_oy⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y¢(x) + р_ny(x) = f(x) (14.4)

и называется линейным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами.

Соответствующее уравнению (9.4) однородное уравнение выглядит так:

р_oy⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y¢(x) + р_ny(x) = 0. (14.5)

Без ограничения общности можно положить р_o = 1 и записать уравнение (9.5) в виде

y⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y¢(x) + р_ny(x) = 0. (14.6)

Решение уравнения (9.6) будем искать в виде y = e ^kx, где k - постоянная. Имеем: y¢ = k e ^kx, y¢¢ = k² e ^kx,..., y⁽ⁿ⁾ = kⁿ e ^kx_. Подставляя полученные выражения в (9.6), будем иметь:

e ^kx (kⁿ + р₁k^n-1 +... + р_n-1k + р_n) = 0.

Т.к. e ^kx ¹ 0, то

kⁿ + р₁k^n-1 +... + р_n-1k + р_n = 0. (14.7)

Характеристическое

Равенство (14.7) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Оно называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (9.6). Характеристическое уравнение есть уравнение n -й степени, следовательно, оно имеет n корней, среди которых могут быть кратные и комплексные. Если k₁, k₂,..., k_n - действительные и различные корни уравнения (9.7), то - частные решения уравнения (14.7), а общее имеет вид

y = .

Дифференциальное уравнении 2 порядка

Рассмотрим подробно линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y¢¢ + рy¢ +qy = 0. (14.8)

Его характеристическое уравнение имеет вид

k² + рk + q=0 (14.9)

и в зависимости от значения дискриминанта D = р² - 4q возможны три случая.

1. Если D>0, то корни k₁ и k₂ уравнения (9.9) действительны и различны, тогда общее решение имеет вид:

y = c₁ exр(k₁x) + c₂ exр(k₂x).

2. Если D = 0, т.е. корни k₁ и k₂ действительные и равные, то общее решение находится по формуле:

y = (c₁ + c₂x) exр (k₁x).

3. Если D<0, то корни комплексные, k₁ = a + bi, k₂ = a - bi, где i - мнимая единица. Тогда общее решение таково:

y = (c₁ cos bx+c₂ sin bx) exр (ax).

Пример. Решить уравнение y¢¢ - y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k² - 1 = 0, корни которого k₁ = 1, k₂ = -1 действительны и различны. Общее решение:

y = c₁ e ^x + c₂ e ^-x.

Разностные уравнения

На практике простейшие разностные уравнения возникают при исследовании например величины банковского вклада. Эта величина является переменной Y_x, представляющей сумму, которая накапливается по установленному закону при целочисленных значениях аргумента x. Пусть сумма Y_o положена в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть начисление процентов производится один раз в год и x обозначает число лет с момента помещения вклада (x = 0, 1, 2,...). Обозначим величину вклада по истечении x лет через Y_x. Мы получаем

Y_x = (1+r)Y_x-1.

Если начальная сумма составляет Y_o, мы приходим к задаче отыскания решения полученного разностного уравнения, подчиненного начальному условию Y_x = Y_o при x = 0. Полученное разностное уравнение содержит Y_x и значение этой переменной на один год раньше, т.е. Y_x-1; в данном случае аргумент x явно не входит в разностное уравнение.

Вообще говоря, обыкновенное разностное уравнение устанавливает связь между значениями функции Y = Y(x), рассматриваемой для ряда равноотстоящих значений аргумента x, но можно без ограничения общности считать, что искомая функция определена для равноотстоящих значений аргумента с шагом, равным единице. Таким образом, если начальное значение аргумента есть x, то ряд его равноотстоящих значений будет x, x+1, x+2,... и в обратном направлении: x, x-1, x-2,.... Соответствующие значения функции будем обозначать Y_x,Y_x+1,Y_x+2,... или Y_x, Y_x-1, Y_x-2,.... Определим так называемые разности различных порядков функции Y_x с помощью следующих формул:

Разности первого порядка

D Y_x = Y_x+1 - Y_x,

D Y_x+1 =Y_x+2 - Y_x+1,

DY_x+2 = Y_x+3 - Y_x+2,

...............

Разности второго порядка

D²Y_x= DY_x+1 - D Y_x,

D²Y_x+1= D Y_x+2 - DY_x+1,

D²Y_x+2= D Y_x+3 - DY_x+2,

...............

Разности третьего порядка

D³Y_x= D²Y_x+1 - D²Y_x,

D³Y_x+1= D²Y_x+2 - D²Y_x+1,

...............

Обыкновенным разностным уравнением называется уравнение, связывающее значения одного независимого аргумента x, его функцииY_x и разностей различных порядков этой функции DY_x, D²Y_x, D³Y_x,.... Такое уравнение можно записать в общем виде следующим образом:

j(x, Y_x, DY_x, D²Y_xD³Y_x, DⁿY_x) = 0, (14.15)

которое по форме аналогично дифференциальному уравнению.

Порядком разностного уравнения называется порядок наивысшей разности, входящей в это уравнение. Разностное уравнение (10.1) часто удобнее записать, пользуясь не разностями неизвестной функции, а ее значениями при последовательных значениях аргумента, то есть выразить DY_x, D²Y_x, D³Y_x,... через Y_x, Y_x+1, Y_x+2,.... Уравнение (10.1) можно привести к одной из двух форм:

y(x, Y_x, Y_x+1,...,Y_x+n) = 0, (14.16)

x(x, Y_x, Y_x-1,...,Y_x-n) = 0. (14.17)

Общее дискретное решение Y_x обыкновенного разностного уравнения n -го порядка представляет функцию x (x = 0, 1. 2,...), содержащую ровно n произвольных постоянных:

Y_x = Y(x, C₁, C₂,..., C_n).

Пример 14.7. Паутинообразная модель. Пусть рынок какого-либо отдельного товара характеризуется следующими функциями спроса и предложения:

D = D(P), S = S(P).

Для существования равновесия цена должна быть такой, чтобы товар на рынке был распродан, или D(P) = S(P).

Цена равновесия `P задается этим уравнением (которое может иметь множество решений), а соответствующий объем покупок-продаж, обозначаемый через `X, - следующим уравнением:

`X = D (`P) = S(`P).

Динамическая модель получается при наличии запаздывания спроса или предложения. Простейшая модель в дискретном анализе включает неизменное запаздывание или отставание предложения на один интервал:

D_t = D (P_t) и S_t = S (P_t-1).

Это может случиться, если для производства рассматриваемого товара требуется определенный период времени, выбранный за интервал. Действие модели таково: при заданном P_t-1 предшествующего периода объем предложения на рынке в текущем периоде будет S (P_t-1), и величина P_t должна установиться так, чтобы был куплен весь объем предложенного товара. Иными словами, P_t и объем покупок-продаж X_t характеризуются уравнением:

X_t = D (P_t) = S (P_t-1).

Итак, зная исходную цену P_o, с помощью этих уравнений мы можем получить значения P₁ и X_1. Затем, используя имеющуюся цену P_1, из соответствующих уравнений получим значения P₂ и X₂ и т.д. В общем изменение P_t характеризуется разностным уравнением первого порядка (одноинтер­вальное отставание):

D (P_t) = S (P_t-1).

Решение можно проиллюстрировать диаграммой, представленной на рис.5, где D и S - соответственно кривые спроса и предложения, а положение равновесия (со значениями `P и `X) соответствует точке их пересечения Q. Цена в начальный момент времени равна P_o. Соответствующая точка Q_o на кривой S дает объем предложения в период 1. Весь этот предложенный объем товара раскупается при цене P₁, заданной точкой Q₁ на кривой D с той же ординатой (X₁), что и Q_o. Во второй период времени движение происходит сначала по вертикали от точки Q₁ к точке на кривой S, дающей X_2, а затем по горизонтали - к точке Q₂ на кривой D. Последняя точка характеризует P₂. Продолжение этого процесса и дает график паутины, показанный на рис. 5. Цены и объемы (покупок - продаж) в последовательные периоды времени являются соответственно координатами точек Q₁, Q₂, Q₃,... на кривой спроса D. В рассматриваемом случае последовательность точек стремится к Q. При этом точки поочередно располагаются на левой и правой стороне от Q. Следовательно, и значения цены P_t стремятся к `P, располагаясь поочередно по обе стороны от`P. Точно так же обстоит дело и с объемами покупок - продаж (X _t).

X S

(D; S)

x₂ Q₂

Q

`x

x₃ Q₃

x₁ Q₀ Q₁

D

O P₀ P₂ `P P₃ P₁ P

Рис. 5.

Решение можно получить алгебраически для случая линейных функций спроса и предложения: D = a +aP, S = b +bP. Значения равновесия `P и `X будут заданы уравнениями

`X = a +a`P = b +b`P,

то есть

`P = (a - b)/(b - a), `X = (ba - ab)/(b - a). (14.18)

Дискретная динамическая модель задается уравнением

X _t = a +aP _t = b +bP _t-1. (14.19)

Ищем сначала решение, дающее равновесие. Для этого положим P _t = `P, X <sub>t</sub> = `X для всех значений t:

`X = a +a`P = b +b`P. (14.20)

Получаем те же значения `P и `X, что и в (10.4). Следовательно, если в каком-либо периоде существовали цены и объемы, обеспечивающие равновесие, то в динамической модели (10.5) они сохранятся и в последующих периодах.

Вычтем уравнение (10.6) из (10.5) и положим р _t = P _t -`P, x <sub>t</sub> = X <sub>t</sub> -`X. Тогда

x _t = aр _t = bр _t-1. (14.21)

Уравнения (14.21) аналогичны (14.19), за исключением того, что они описывают отклонения от уровней равновесия (теперь уже известно, что таковые существуют). Оба эти уравнения являются разностными уравнениями первого порядка. Положим c = b/a и подставим его в уравнение (14.21), так что разностное уравнение относительно р _t будет

р _t = c р _t-1. (14.22)

При данном значении р _o в момент t = 0 из (10.8) получаем решение:

р _t = р_o c ^t,

или

P _t = `P + (P<sub>o</sub> - `P) c ^t.