Необходимый признак сходимости ряда, гармонический ряд

Если числовой ряд является сходящимся, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n ().

Этот признак является необходимым, но не достаточным. Иными
словами: если общий член ряда стремится к нулю при неограниченном
возрастании n, то это не означает, что ряд является сходящимся. Примером
расходящегося ряда, общий член которого стремится к нулю при неог-раниченном возрастании n, является гармонический ряд:

. (15.3)

Достаточный признак расходимости ряда: если , то ряд
расходится.

Для числовых рядов с положительными членами () сформули-рованы и доказаны следующие достаточные признаки сходимости.

Интегральный признак Коши. Ряд с положительными убывающими
членами сходится (расходится), если сходится (расходится)
несобственный интеграл , где f(x) – непрерывная убывающая
функция; – произвольное положительное число, принадлежащее области
определения f(x).

Признак Д′Аламбера. Пусть дан ряд с положительными членами. Если
, то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 ряд расходится. При r = 1
вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Признак сравнения. Если ряд с положительными членами

сравнить с другим рядом с положительными членами

,

сходимость (расходимость) которого известна, и если начиная с некоторого
номера n:

1) и ряд (b) сходится, то и ряд (а) также сходится.

2) и ряд (b) расходится, то и ряд (а) также расходится.

При использовании этого признака исследуемый ряд часто сравнивается
с бесконечной геометрической прогрессией
(которая сходится при и расходится при ) или с расходящимся
гармоническим рядом .

Рассмотрим примеры использования признаков сходимости.

Пример. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости
для ряда:

=

Решение: найдем предел общего члена ряда при неограниченном
возрастании его номера n:

.

Поскольку , то можно утверждать, что необходимый признак
сходимости не выполняется, а следовательно, данный ряд расходится.

Пример. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости
для ряда:

.

Решение: найдем предел, к которому стремится величина общего члена
при неограниченном возрастании его номера n:

.

Поскольку , то можно утверждать, что необходимый признак
сходимости выполняется. Однако, поскольку этот признак не является
достаточным, вопрос о сходимости ряда остается открытым и нуждается
в дополнительном исследовании.

Пример. Используя интегральный признак Коши, проверить сходимость ряда предыдущего примера:

.

Решение: значение общего члена ряда является функцией его номера
n, принимающего дискретные значения n = 1, 2, 3, …: .
Переходя от дискретной переменной n к непрерывному аргументу x, получим
непрерывную, убывающую функцию .

Согласно интегральному признаку Коши, следует проверить сходимость
несобственного интеграла :

Несобственный интеграл расходится, а следовательно, согласно интег-ральному признаку Коши, рассматриваемый ряд также расходится.

Пример. Используя признак Д′Аламбера, исследовать сходимость ряда .

Решение: запишем выражения для членов ряда с номерами n и (n+1):
, . Составим отношение и найдем его предельное
значение при :

.

Поскольку полученное значение меньше единицы (),
согласно признаку Даламбера, исследуемый ряд сходится.

Сходимость знакопеременного ряда

Знакопеременный ряд содержит как положительные, так и отрицательные члены.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится
ряд, составленный из абсолютных значений его членов:

. (15.4)

Знакопеременный сходящийся ряд называется неабсолютно сходя-щимся, если ряд, составленный из абсолютных значений его членов
расходится.

Можно показать, что всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд
сходящийся.

Одним из видов знакопеременных рядов являются знакочередующиеся
ряды, для которых характерно строго последовательное чередование знака
членов ряда:

. (15.5)