Пример. При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

Пример. , с другой стороны, если применить тригоно-метрическую подстановку,

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tg x имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = p/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

Пример. Вычислить интеграл .

.

Для сокращения преобразований при замене переменной удобно вновь вычислять верхний и нижний пределы. Это позволяет избежать обратной замены на исходную переменную в полученной первообразной и упрощает вычисления. Так, для данного примера можно записать:

.

Мы получили тот же результат, без обратного перехода к радикалу .

Пример. Вычислить интеграл .

.