Использование интегралов в экономических расчетах

Определенные интегралы постоянно используются в экономическом анализе и моделировании экономических процессов. Их вычисление основано
на использовании формулы Ньютона–Лейбница применительно к известным
первообразным. Значимость определенного интеграла покажем на двух
иллюстративных примерах.

1. Пусть f(t) – функция изменения производительности труда за время t. Если продолжительность рабочей смены составляет t ₀, то выработка P продукции за смену может быть оценена по формуле

.

2. Определить дисконтированную сумму вкладов в банке S_d за время t ₀ можно по формуле

,

где f(t) – функция изменения ежегодного дохода, r – удельная норма
процента (удельная процентная ставка r = 0,01 p, где p – процентная ставка
по вкладам).

Приме. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t₁ до t₂ будет выражаться формулой

V = .

В нашем случае

V = = ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.

Пример. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.

Решение. Имеем:

V = .

Пример. Пусть сила роста (см.6.1) описывается некоторой непрерывной функцией времени d _t = f(t), тогда наращенная сумма находится как

S = P exр d _t dt,

а современная величина платежа P = S exр(- d _t dt).

Если, в чаcтности, d _t является линейной функцией времени:
d _t = d _o + at, где d _o - величина силы роста для t = 0, a - годовой прирост, то

d _t dt = (d _o + at)dt = d _o n + an²/2;

множитель наращения exр(d _o n + an²/2). Если сила роста изменяется по геометрической прогрессии d _t = d _o a^t, где d _o - начальное значение процентной ставки, a - годовой коэффициент роста, тогда

d _t dt = d _o a^t dt = d _o a^t /lna = d _o(aⁿ -1)/lna;

множитель наращения exр(d _o(aⁿ -1) / lna).

Предположим, что начальный уровень силы роста равен 8%, процентная ставка ежегодно увеличивается на 20% (a=1,2), срок ссуды 5 лет. Множитель наращения в этом случае составит exр (0,08 (1,2⁵-1) / ln1,2)»
» exр 0,653953» 1,921397.