Приближенное вычисление определенного интеграла

Как было сказано выше, существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подинтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.

Пример. Вычислить интеграл J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =
=
= .

Пример. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно, = .

Но подынтегральная функция f(x) = > 0 и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция f(x) = имеет бесконечный разрыв в точке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима.

Пример. Оценить значение интеграла с помощью теоремы о среднем определенного интервала.

В случае сложных подынтегральных выражений
или «неберущихся» интегралов для оценки значения
интеграла достаточно удобна теорема

.

Здесь c – точка внутри интервала интегрирования (т.е. a < c < b), выбираемая при выполнении расчета. Для практических целей удобно выбирать середину интервала, т.е. .

Для решения примера выберем .

Тогда:

.

Точное значение интеграла равно 1.12, т.е. погрешность составила 7%.

Заметим, что удачный выбор точки C может повысить точность вычис-лений. Однако середина интервала удобнее для грубой оценки значения интег-рала. При необходимости более точных вычислений следует использовать
другие методы, из которых рекомендуем формулу трапеций.

Вычислить интеграл по формуле трапеций.

Формула трапеций имеет вид: .

Здесь – число интервалов разбиения области интегрирования; xi – абсцисса конца интервала, причем x ₀ = a и xn = b. Точность формулы зависит от выбираемого значения n. При ответственных расчетах рекомендуется вычислить интеграл для двух различных значений n (к примеру, n = 8 и n = 12), после чего сравнить результаты. Если они близки, то расчет закончен.

Выберем для данного примера n = 5, т.е. разобьем область интегрирования на пять интервалов.

Длина интервала , следовательно:

В нашем примере . Для вычисления удобно оформить расчеты следующей таблицей:

N	xi		Для ясности пределы интегрирования (f(a) и f(b)) отчеркнуты.
	0,2	0,9615
	0,4	0,8621
	0,6	0,7353
	0,8	0,6098
		0,5000

В соответствии с формулой трапеций:

.

Точное значение этого интеграла 0,7854, т.е. погрешность составила 0,2%.

Если повторить расчет, приняв n = 10, то приближенное значение интег-рала будет 0,7850, что отличается от точного на 0,05%. Таким образом,
формула трапеций обеспечивает хорошую практическую точность вычислений и легко реализуется на компьютере.