Сумма двух случайных величин

Обозначим плотность совместного распределения вероятностей двух случайных величин и через и будем искать закон распределения вероятностей их суммы . Случайное событие или означает попадание случайной точки в полосу между прямыми и , поэтому вероятность этого события равна:

.

Положим замену , получим

Изменяя порядок интегрирования, запишем

- непрерывная случайная величина с плотностью распределения вероятностей

0

При сложении двух независимых случайных величин и , их плотность и

Закон распределения суммы независимых случайных величин называется композицией их законов распределения, а интеграл называется свёрткой функций и . Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости: композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение (математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий).