Плотность распределения системы двух случайных величин

Предположим, что функция распределения непрерывна и дважды дифференцируема, тогда существует вторая смешанная частная производная, обозначим её через .

Функция называется плотностью распределения системы непрерывных случайных величин . Геометрически функцию можно изобразить некоторой поверхностью, которую называют поверхностью распределения.

Рассматривая плотность распределения для одной случайной величины , можно ввести понятие «элемента вероятности» , выражающего вероятность попадания случайной величины на элементарный участок . Аналогично вводится понятие «элемента вероятности» для системы двух случайных величин. Элемент вероятности даёт вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами и , примыкающий к точке .

Следовательно, зная плотность распределения , можем определить вероятность попадания случайной точки в произвольную область

Функция распределения есть вероятность попадания в квадрант, ограниченный абсциссами и ординатами , поэтому

Свойства плотности распределения системы двух случайных величин.

Свойство 1: Плотность распределения есть функция неотрицательная.

Это свойство непосредственно следует из того, что - неубывающая функция своих аргументов.

Свойство 2: Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от плотности распределения системы равен единице:

Это следует из того, что

Пример: Плотность распределения системы двух случайных величин задана выражением

Найти Определить функцию распределения и найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами

Пользуясь свойством 2 плотности распределения, найдём постоянную величину :

.

Следовательно,

Находим функцию распределения:

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник равна:

Система двух непрерывных случайных величин имеет равномерное распределение в области плоскости , если плотность распределения в точках области постоянна и равна нулю в остальных точках плоскости :

.

Это означает, что с вероятностью 1 случайная точка попадает в область , причём все положения в области для этой точки в некотором смысле равноправны.

В силу свойства 2 для плотности распределения имеем:

Где - площадь области .

Основное свойство равномерного распределения состоит в том, что для него применим геометрический способ определения вероятности. Так, если область содержится в области , то нетрудно показать, что

где - площадь области .

Действительно,

Плотности распределения отдельных величин,