Функция непрерывных случайных величин

Под функцией случайной величины понимают такую случайную величину , которая принимает значение всякий раз, когда величина принимает значение . При этом, конечно, предполагаем, что рассматриваемая функция определена для всех возможных значений аргументов.

Найдём закон распределения вероятностей функции по законам распределения вероятностей аргументов.

Случайное событие можно представить как попадание случайной точки в множество , определяемое указанным неравенством. Вероятность такого попадания равна интегралу по множеству от плотности совместного распределения вероятностей величин Для нахождения плотности распределения функции остаётся преобразовать такой интеграл к виду

Рассмотрим конкретные случаи.

1. Монотонная функция одной случайной величины.

Пусть в интервале возможных значений случайной величины функция строго возрастает. При этом каждый внутренний интервал взаимнооднозначно отображается на интервал . Поэтому вероятности попадания случайных величин и в соответствующие интервалы равны между собой

.

0

Обозначим плотность распределения вероятностей величины , тогда

.

Заменим на функцию , обратную к , получим

,

то есть

.

Плотность распределения непрерывной случайной величины

или

Для строго убывающей функции

Можно объединить формулы:

.

Если функция в интервале возможных значений не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция монотонна, и найти плотности распределений для каждого из интервалов монотонности, а затем представить в виде суммы:

Например, если функция монотонна в двух интервалах, в которых соответствующие обратные функции равны и , то

Теорема: Линейное преобразование случайной величины не изменяет закона распределения.

Пусть случайная величина связана со случайной величиной линейной функциональной зависимостью

где - не случайные коэффициенты.

Выражение определяет монотонную функцию, обратная ей

функция

Используя общую формулу для плотности, получаем:

.

Полученное выражение показывает, что линейное преобразование случайной величины равносильно изменению масштаба изображения кривой распределения и переносу начала координат в новую точку. Вид кривой при таком преобразовании не изменяется. Это значит, что линейное преобразование случайной величины не изменяет вида закона её распределения.

Пример: Случайная величина подчинена нормальному закону с плотностью

.

Требуется найти распределение случайной величины , связанной со случайной величиной линейной функциональной зависимостью

Используя общую формулу, получим:

или после преобразования:

Таким образом, случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами

.

Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами

Пример: Найти плотность распределения линейной функции , если аргумент распределён нормально, причём математическое ожидание равно 2 и среднее квадратическое отклонение равно 0,5.

Искомая плотность распределения имеет вид

.

Частные случаи.

1. Если случайная величина имеет равномерное распределение в интервале , то случайная величина будет иметь равномерное распределение в симметричном относительно интервале , где , а случайная величина будет иметь равномерное распределение в интервале .

2. Если случайная величина имеет показательное распределение при , то случайная величина при будет иметь показательное распределение с параметром