Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Начальным моментом порядка системы называется математическое ожидание произведения

Начальным моментом порядка системы называется математическое ожидание произведения -той степени на -тую степень

.

Для системы дискретных случайных величин

,

где , а суммирование ведётся по всем возможным значениям случайных величин

Для системы непрерывных случайных величин

где - плотность распределения системы.

На практике наиболее употребительными являются начальные моменты первого порядка:

которые являются математическими ожиданиями случайных величин и , входящих в систему. Эти математические ожидания определяют координаты точки, называемой центром рассеивания системы на плоскости.

Центральным моментом порядка системы называется математическое ожидание произведения -той и -той степеней соответствующих центрированных величин:

.

Для системы дискретных случайных величин

Для системы непрерывных случайных величин

В практике наибольшее применение имеют центральные моменты второго порядка. Два из них представляют уже известные дисперсии величин и :

,

,

которые характеризуют рассеивание случайной точки в направлении осей и .

Особую роль при исследовании системы двух случайных величин играет второй смешанный центральный момент , который называется корреляционным моментом, или моментом связи. Обычно он обозначается

Момент связи , определяемый как математическое ожидание произведения отклонений двух случайных величин от их математических ожиданий, помимо рассеивания величин и , может характеризовать взаимное влияние этих случайных величин. Для оценки степени этого влияния обычно используют не сам момент связи , а безразмерное отношение

,

который называют коэффициентом корреляции случайных величин и .

Корреляционный момент и коэффициент корреляции обладают следующим свойством.

Если случайные величины и независимы, то коэффициент корреляции и корреляционный момент равны нулю.

Доказательство проведём для непрерывных случайных величин. Пусть и - независимые случайные величины с плотностью распределения Тогда имеем: .

Следовательно,

т.е. двойной интеграл превращается в произведение двух интегралов, каждый из которых равен нулю, так как они представляют собой математические ожидания от центрированных случайных величин.

Итак, для независимых случайных величин и Из равенства нулю корреляционного момента следует равенство нулю коэффициента корреляции.

Аналогично доказывается это свойство и для дискретных случайных величин.

Равенство нулю коэффициента корреляции или корреляционного момента называется некоррелированностью величин, а отличие от нуля – коррелированностью.

Можно привести примеры таких случайных величин, которые являются некоррелированными, но зависимыми. С другой стороны, независимые величины всегда являются некоррелированными. Таким образом, условие независимости случайных величин – более жёсткое, чем условие некоррелированности.

Пример: Двумерная случайная величина задана плотностью распределения:

внутри эллипса ;

вне этого эллипса.

Доказать, что и - зависимые некоррелированные величины.

Было вычислено: внутри заданного эллипса и вне его.

Так как , то и - зависимые величины.

Для того, чтобы доказать некоррелированность и , достаточно убедиться в том, что

Поскольку функция - симметрична относительно оси , то ; аналогично, в силу симметрии относительно оси Следовательно,

Так как - постоянна, то её можно вынести за знак интеграла, получим

Внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечётна, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), следовательно, , т.е. зависимые случайные величины и некоррелированы.

Теорема: Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин и не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Следствие: Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы:

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной величины другая имеет тенденцию возрастать (убывать) по линейному закону.

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между величинами. Если случайные величины и связаны точной линейной функциональной зависимостью

,

то , причём знак + или - берутся в зависимости от того, положителен или отрицателен коэффициент

В общем случае, когда величины и связаны произвольной вероятностной зависимостью, коэффициент корреляции может иметь значение в пределах

.