Случайных величин. Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов , равная вероятности совместного выполнения двух неравенств и

Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов , равная вероятности совместного выполнения двух неравенств и , т.е.

.

Геометрически функция распределения системы двух случайных величин представляет собой вероятность попадания случайной точки в левый нижний бесконечный квадрант плоскости с вершиной в точке

0

Указанная геометрическая интерпретация функции распределения системы двух случайных величин позволяет наглядно иллюстрировать следующие свойства.

Свойство 1: Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу, т.е.

.

Символически это записывается так:

.

В этом свойстве функции распределения легко убедиться наглядно, отодвигая одну из границ квадранта в ; при этом в пределе квадрант превращается в полуплоскость (показано на рисунке). Вероятность же попадания случайной точки в такую полуплоскость есть функция распределения одной из величин, входящих в систему.

0 0

Свойство 2: Если оба аргумента стремятся к плюс бесконечности, то функция распределения системы стремится к единице, т.е.

Действительно, при и квадрант с вершиной обращается во всю координатную плоскость , попадание случайной точки в которую есть достоверное событие.

Свойство 3: При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности функция распределения стремится к нулю, т.е.

.

Действительно, отодвигая ту или иную границу квадранта (или обе границы) в минус бесконечность, убеждаемся, что вероятность попадания случайной точки в квадрант в пределе равна нулю.

Свойство 4: Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу, т.е.

, если ;

, если

Действительно, увеличивая (смещая границу квадранта вправо) или увеличивая (смещая границу вверх), мы, очевидно, не можем уменьшить вероятность попадания случайной точки в такой квадрант.

Свойство 5: Вероятность попадания случайной точки в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле: