Закон распределения функции одной случайной величины

При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции тоже являются случайными величинами. Поэтому при решении таких задач необходимо знать законы фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно закон распределения системы случайных аргументов известен и известна функциональная зависимость.

Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать следующим образом.

Дана система случайных величин , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина как функция случайных величин

Требуется определить закон распределения случайной величины , зная вид функции и закон совместного распределения её аргументов.

Начнём с рассмотрения наиболее простой задачи, относящейся к этому классу: задачи о законе распределения функции одного случайного аргумента

.

Пусть - дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения:

			…
			…

Тогда - также дискретная случайная величина с возможными значениями . Если все значения различны, то для каждого события и тождественны. Следовательно,

И искомый ряд распределения имеет вид:

			…
			…

Если же среди чисел есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.

Пример: Случайная величина имеет таблицу распределения вероятностей

Найти распределения вероятностей величин: .

Функции и принимают в точках различные значения и поэтому их таблицы распределения находятся по первому правилу

	-1

Функция принимает равные значения в точках и , так что событие есть сумма событий и и его вероятность .

Таблица распределения вероятностей

Пример: Бросаются одновременно две игральные кости, найти распределение суммы очков на их верхних гранях.

Числа очков, выпадающие на верхних гранях первой и второй кости, представляют собой независимые случайные величины и с одинаковыми распределениями вероятностей

Закон их совместного распределения задаётся формулами:

Сумма может принимать значения от 2 до 12, но некоторые значения она может принимать в различных комбинациях. По правилу сложения вероятностей, вероятности всех соответствующих комбинаций складываются, так как они имеют одну и ту же вероятность, надо эту вероятность умножить на число комбинаций.

Пример: Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:

	0,4	0,6

	0,8	0,2

Составить закон распределения случайной величины .

Возможные значения величины есть суммы каждого возможного значения со всеми возможными значениями :

Найдём вероятности этих возможных значений. Для того, чтобы , достаточно, чтобы величина приняла значение и величина - значение Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,4 и 0,8. Аргументы и независимы, поэтому события и независимы; следовательно, вероятность их совместного появления (т.е. вероятность события ) по теореме умножения равна

Аналогично находим:

Величина принимает три разных значения: 12,13,14. Поскольку события и несовместны, то

.

Таким образом, величина имеет закон распределения

	0,32	0,56	0,12

Отметим, что 0,32+0,56+0,12=1, как и должно быть.