Свойства математического ожидания. Математическое ожидание дискретной случайной величины обладает рядом свойств, которые имеют место и для непрерывной случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины обладает рядом свойств, которые имеют место и для непрерывной случайной величины, о числовых характеристиках которой будет сказано позже.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины с равно этой постоянной:

.

Это свойство вытекает из определения , учитывая, что – закон распределения этой, уже неслучайной, величины.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

Доказательство. Если закон распределения случайной величины Х имеет вид (2.1), то закон распределения случайной величины сХ:

.

Тогда ,

что и требовалось доказать.

Свойство 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

.

Свойство 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Пример. Ежемесячные расходы на обслуживание и рекламу в некоторой компьютерной фирме составляют в среднем 100 тыс. руб., а число продаж Х в течение месяца подчиняется следующему закону распределения:

.

Найти математическое ожидание ежемесячной прибыли при цене 150 тыс. руб. на одну единицу продаж.

Решение. Ежемесячная прибыль подсчитывается по формуле тыс. руб. Искомая характеристика M(П) находится с использованием свойств математического ожидания, учитывая, что М(Х) = 2,675:

2.2.5. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
дискретной случайной величины

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины. Однако оно не характеризует случайную величину достаточно полно, поэтому рассматриваются и другие числовые характеристики.

На практике важной характеристикой является разброс возможных значений случайной величины относительно её среднего значения. Целесообразно рассматривать абсолютные значения отклонений или их квадраты, т. к. в противном случае при вычислении среднего отклонения суммируются как положительные, так и отрицательные отклонения и характеристика искажается.

Пусть Х – случайная величина с законом распределения (2.1), М(Х) – её математическое ожидание.

Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата её отклонения от своего математического ожидания:

. (2.3)

Дисперсия характеризует квадрат разброса случайной величины относительно её среднего значения с учетом не только её возможных значений, но и их вероятностей.

Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из её дисперсии:

. (2.4)

Пример. В условиях примера 3 п. 2.2.1 найти D(X) и .

Решение. Прежде всего найдем среднее значение процентного изменения стоимости акций, а затем уже вычислим характеристики, определяющие разброс случайной величины относительно своего среднего значения.

Составим закон распределения квадрата отклонения случайной величины относительно её математического ожидания.

=

,

т. е. среднеожидаемое отклонение процентного изменения стоимости акций от своего среднего значения 18,5 приблизительно равно 7,1.