Функция распределения случайной величины

Для описания закона распределения случайной величины мы до сих пор рассматривали вероятности событий Х = х для разных значений х. Однако такое описание случайной величины не является универсальным: оно не применимо для непрерывной случайной величины, т. к. непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток (несчетное множество). Кроме того, в дальнейшем мы убедимся в том, что вероятность каждого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Возможен другой подход к описанию закона распределения случайной величины: рассматривать не вероятности событий Х = х, а вероятности событий Х < х, где x – переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от х, т. е. является функцией от х. Эта функция называется функцией распределения или интегральной функцией распределения случайной величины Х и обозначается F(x):

.

Функция распределения существует для всех случайных величин: как для дискретных, так и непрерывных. Она полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т. е. является одной из форм закона распределения.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х окажется левее заданной точки х, т. е. попадает в интервал .

Пример. Найти и построить её график для случайной величины Х, заданной законом распределения .

Решение. 1. Пусть , тогда .

2. Пусть , тогда

3. Пусть , тогда или .

Таким образом

	при ;
при ;
при .

График F(x) изображен на рис. 2.1.

Этот пример подтверждает тот факт, что функция распределения F(x) любой дискретной случайной величины, есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностями этих значений. Сумма всех скачков функции F(x) равна единице.

По мере увеличения числа возможных значений случайной величины число скачков становится большим, а сами скачки – меньше. Ступенчатая линия становится более гладкой; случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а её функция распределения F(x) – к непрерывной функции (рис. 2.2).

На практике обычно функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна на всей числовой оси.

В дальнейшем мы условимся называть « непрерывными» только те случайные величины, функция распределения которых везде непрерывна.

2.3.2. Основные свойства функции распределенияF(x )

Свойство 1. Значения F(x) заключены между нулем и единицей:

.

Свойство 2. F(x) – неубывающая функция, т. е. при .

Свойство 3. , т. е. .

Свойство 4. , т. е. .

Свойство 5. Вероятность попадания случайной величины на заданный промежуток равна приращению функции распределения на этом промежутке:

.

Свойство 6. Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю:

.

Не приводя строгие доказательства этих свойств, кратко поясним их.

Свойство 1 следует из определения функции распределения и свойства вероятности: , а .

Свойство 2 объясняется тем, что с ростом x промежуток расширяется и, следовательно, вероятность попадания случайной величины Х в этот промежуток не может уменьшиться, т. е. с возрастанием х убывать не может.

Свойства 3 и 4 вытекают из того, что как вероятность невозможного события, а как вероятность достоверного события.

Свойство 5 следует из того, что для

или

.

Свойство 6 докажем, представляя в виде

.

Здесь использовалось свойство 5 и непрерывность функции распределения непрерывной случайной величины.

Мы уже встречались с событиями, вероятности которых были равны нулю, но это были невозможные события. И на первый взгляд кажется парадоксальным, что возможное событие , состоящее в том, что непрерывная случайная величина Х примет значение , имеет нулевую вероятность, а например, событие , имеющее ненулевую вероятность, складывается из событий Х = х, где , имеющих нулевые вероятности. В действительности это не более парадоксально, чем представление об отрезке, имеющем определенную длину, тогда как любая точка этого отрезка имеет нулевую длину. Или представление о теле, имеющем определенную массу, тогда как ни одна из точек этого тела определенной ненулевой массой не обладает. Из того, что вероятность возможного события равна нулю для непрерывной случайной величины Х следует только то, что при неограниченном повторении испытания это событие будет появляться сколь угодно редко. А противоположное событие , имеющее вероятность равную единице, нельзя считать достоверным. Однако при неограниченном повторении испытания оно будет происходить почти всегда.