Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть с испытанием связана дискретная случайная величина Х с законом распределения

.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма всех произведений её возможных значений на их вероятности:

(2.2)

Отсюда следует, что математическое ожидание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина, которая характеризует среднее значение случайной величины с учетом не только её возможных значений, но и их вероятностей.

Например, в примере 1 п. 2.2.1

,

т. е. среднеожидаемый чистый выигрыш участника лотереи равен 0.

Пример. Мишень разбита на восемь секторов и установлена так, что может вращаться вокруг своей оси. При достаточно большой скорости вращения стрелок не может различать цифры и стреляет наугад. При попадании в сектор с номером 1 стрелок выигрывает один рубль, в сектор с номером 2 – 2 руб. и т. д. Стоит ли участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 5 руб.?

Решение. Поскольку мишень вращается, то способности стрелка не имеют никакого значения, т. е. попадание в любой сектор равновозможное. Возможный выигрыш – случайная величина, обозначим её Х. Составим закон распределения этой величины:

.

Вычислим среднеожидаемый выигрыш:

.

Так как среднеожидаемый выигрыш в 4,5 руб. меньше платы за выстрел 5 руб., то стрелять много раз явно невыгодно. На основании подобных расчетов организуются различные азартные игры, приводящие игроков к разорению.