Плотность вероятности

Пусть дана непрерывная случайная величина Х с функцией распределения F(x), которую мы предполагаем дифференцируемой. Вычислим

Тогда вероятность, приходящаяся на единицу длины, т е. средняяплотность вероятности на участке равна

.

Будем приближать к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

.

Обозначим и будем называть функцию плотностью распределения вероятностей или дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины Х.

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Плотность распределения , так же как и функция распределения , есть одна из форм закона распределения случайной величины, но в отличие от , эта форма не является универсальной: существует только для непрерывной случайной величины.

Таким образом, закон распределения непрерывной случайной величины можно задать одним из двух равносильных способов:

1. с помощью функции распределения

2. с помощью плотности распределения .

Отметим свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.

Свойство 1. .

Это следует из того, что – производная неубывающей функции .

Свойство 2. .

Доказательство. Это равенство вытекает из свойств 5 и 6 функции распределения, определения плотности вероятности и формулы Ньютона-Лейбница:

Свойство 3. Связь между интегральной и дифференциальной функциями распределения такова:

.

Доказательство. Действительно

.

Свойство 4. .

Это свойство следует из того, что .

Используя геометрическую интерпретацию определенного и несобственного интегралов, проиллюстрируем свойства 2-4 на рис.2.3-2.5 соответственно.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина попадает на промежуток , равна площади криволинейной трапеции, опирающейся на этот промежуток, и ограниченной сверху кривой распределения :

.

.

Полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Пример 1.

Найти 1) ; 2) f(x); 3) p (0,25 < X < 0,5); 4) построить графики F(x) и f(x).