Локальная формула Муавра-Лапласа

Укажем без доказательств удобную приближенную формулу вычисления . Эта формула была получена для частного случая Муавром в 1730 г. и обобщена для общего случая Лапласом в 1785 г.

Теорема 2. Если вероятность успеха в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно больших значениях n

, (1.19)

где – функция Гаусса,

Эта формула дает незначительную погрешность, если .

Для функции Гаусса (рис. 1.9) имеются таблицы (табл. П.1), пользуясь которыми нужно иметь в виду следующие свойства функции Гаусса:

1) функция четная, т.е.

;

2) функция монотонно убывает при положительных значениях х, причем

.

при ;

3) площадь, заключенная между осью Ох и графиком функции Гаусса равна единице.

Пример 3. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Решение. – вероятность успеха; . Тогда , значит можно применять формулу (1.16):

(табл. П.1).

Пример 4. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. .

, следовательно,

можно применить формулу Муавра-Лапласа (1.19):

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату:

. .

Пример 5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что мишень будет поражена 8 раз при 10 выстрелах.

Решение. .

По формуле (1.19):

По формуле Бернулли:

.

Расхождение объясняется тем, что n достаточно мало и