Формула полной вероятности. Формула Байеса. Рассмотрим следующий классический пример

Рассмотрим следующий классический пример.

Пример 1. Имеются три урны с белыми и черными шарами: в I урне – 3 белых и 7 черных; во II урне – 4 белых и 6 черных; в III урне – 2 белых и 8 черных. Из наугад выбранной урны берут случайным образом один шар. Какова вероятность, что он белый?

Решение. Введем обозначения событий:

А – вынут белый шар, это событие происходит вместе с одним из следующих событий (гипотез): – выбрали урну I; – выбрали урну II; – выбрали урну III.

События несовместны и образуют полную группу, причем

.

Тогда событие – белый шар вынули из i-й урны.

Обобщим эту задачу. Пусть события несовместны и образуют полную группу, т. е.

Будем называть эти события гипотезами.

Требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одной из гипотез , причем известны вероятности гипотез и условные вероятности . В такой ситуации имеет место формула полной вероятности:

. (1.14)