Повторные испытания. Схема Бернулли

Рассмотрим часто встречающуюся ситуацию.

– Проводится n независимых испытаний. Независимость означает, что в каждом следующем испытании полностью повторяются условия, в которых проводилось предыдущее.

– В каждом испытании интересующее нас событие А (успех) наступает с одной и той же вероятностью р, и не наступает, т. е. наступает событие (неуспех), с вероятностью q = 1– p.

Указанная ситуация – схема повторных испытаний (схема Бернулли).

Пусть k – число наступлений события А (число успехов) в серии из n независимых испытаний. Очевидно, что в зависимости от случая k принимает одно из возможных значений .

Обозначим – вероятность k успехов в серии из n испытаний.

Теорема. Вероятность числа успехов k в серии из n повторных испытаний находится по формуле Бернулли:

, (1.16)

где p – вероятность успеха, q – вероятность неуспеха.

Доказательство:

.

В сумме перечислены всевозможные n-ки (произведения n элементов), в которых на k местах стоит множитель А и на (n – k) местах – множитель . Всего слагаемых в этой сумме , все слагаемые суммы – попарно несовместные события, тогда по формулам (1.12), (1.9) получаем:

поскольку множители в составе каждого слагаемого независимы, вероятность каждого слагаемого – , а всего слагаемых – .

Пример. Вероятность изготовления на станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятность возможного числа бракованных деталей среди пяти отобранных.

Решение. Испытание – проверка детали на стандартность. Обозначим события: – деталь стандартная (неуспех); А – деталь бракованная (успех).

, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 – число бракованных деталей, , . По формуле (1.16):

;

;

;

;

; .

Полученные вероятности изобразим точками с координатами . Соединив эти точки ломаной, получим полигон распределения вероятностей (рис. 1.8).