В схеме повторных испытаний

В последнем примере мы видим, что есть значения k (в данном случае ), обладающие наибольшей вероятностью . Число наступления события А в независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если , для .

Теорема. Наивероятнейшее число определяется из двойного неравенства:

, (1.17)

причем таких не более двух.

Доказательство:

1) Докажем, что таких не более двух.

, длина этого промежутка равна

Так как – целое число, принадлежащее промежутку длины 1, то таких либо одно, либо два.

2) По определению наивероятнейшего числа:

Из неравенства (1) с учетом формул Бернулли и числа сочетаний имеем:

После почленного деления на получим

.

Умножая обе части неравенства на выражение , после упрощений получим неравенство

или

.

Отсюда , т. к. .

Аналогично из неравенства (2) системы получаем . Из полученных оценок для следует требуемое неравенство (1.17).

Пример 1. В условиях примера п. 1.8 . Наивероятнейшее число найдем по формуле (1.17):

.

Так как – натуральное число, то .

Пример 2. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений трёх очков было равно 10?

Решение. Пусть событие – выпадение тройки (успех); тогда , .

Наивероятнейшее число успехов , найдем общее число испытаний по оценке (1.17):

или .

Отсюда , т. е. для того, чтобы наивероятнейшее число выпавших троек было равно 10, необходимо подбросить игральную кость от 59 до 65 раз.