Вычислений

Если число испытаний велико, то непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно. Это связано с вычислением факториалов больших чисел и с тем, что и – дробные числа. Поэтому рассмотрим приближенные формулы вычисления .

Теорема 1. Формула Пуассона. Если вероятность успеха в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний и произведении , то вероятность удовлетворяет следующему соотношению:

. (1.18)

Эта приближенная формула дает незначительные погрешности, если

.

Пример 1. Швейной фабрикой выпускаются два вида пальто с меховым воротником и без него. Пальто с меховым воротником составляют 0,01% от всего объема выпускаемых изделий. Найти вероятность того, что из 100 тыс. пальто, изделий с меховым воротником окажется только два.

Решение. В этом примере n достаточно велико: .

Пусть событие А – пальто с меховым воротником, тогда вероятность успеха = .

Параметр, .

Тогда по формуле Пуассона (1.18):

.

Ответ: примерно в 0,2% случаев из 100 тыс. пальто два окажутся с меховым воротником.

Правую часть приближенной формулы можно рассматривать как функцию двух переменных :

.

Эта функция называется функцией Пуассона, для нее существуют таблицы (см. табл. П.3).

Пример 2. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов?

Решение. Из условия задачи , , .

.

(табл. П. 3).