Доказательство. , что и требовалось доказать

, что и требовалось доказать.

Формула полной вероятности является следствием двух основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей.

Заметим, что вероятности н е в с е г д а о д и н а к о в ы.

Пример 2. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в количественном отношении 1: 4: 5. Практика показала, что телевизоры, поступившие от I, II, III поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92% случаев. Найти вероятность того, что наугад купленный в фирме телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

Решение. – телевизор поступил от i-го поставщика,

; ; .

А – телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

; ; .

По формуле полной вероятности (1.14):

.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Байеса по имени автора этой теоремы.

Рассмотрим следующую задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны . Известно, что испытание проведено и событие А наступило. С учетом этой дополнительной информации необходимо произвести количественную переоценку гипотез, т. е. найти

.

Решение задачи. По теореме умножения вероятностей (1.7) имеем:

Отсюда

,

с учетом формулы полной вероятности (1.14):

. (1.15)

Формула (1.15) называется формулой Байеса или теоремой гипотез.

Пример 3. В условиях предыдущего примера о телевизорах известно, что проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

Решение.

– телевизор потребует ремонта, .

По формуле (1.15):

Итак, после наступления события вероятность гипотезы увеличилась с 0,4 до 0,5(3), а гипотез , уменьшилась от 0,1 до 0,0(2), от 0,5 до 0,(4) соответственно. После поступления дополнительной информации о наступлении события наиболее вероятна гипотеза .

Пример 4. Объект может находиться в двух различных состояниях и , случайно переходя из одного состояния в другое.

Практикой установлено, что приблизительно 30% времени объект находится в состоянии , а 70% – в состоянии . За объектом наблюдают две станции. Наблюдательная станция № 1 передает ошибочные сведения в 2% случаев, а станция № 2 – в 8%. В какой-то момент t наблюдательная станция № 1 сообщила: объект находится в состоянии , а станция № 2 – объект находится в состоянии .

Какому из сообщений следует больше доверять?

Решение. Доверять следует тому сообщению, вероятность которого больше.

Введем обозначения событий:

– объект в состоянии ; – объект в состоянии .

По условию задачи

Событие А – станция № 1 сообщила, что объект находится в состоянии , а станция № 2 – что он находится в состоянии , тогда событие – станция № 1 не ошиблась, а № 2 ошиблась и

;

событие – станция № 1 ошиблась, а № 2 – не ошиблась и

.

По формуле Байеса (1.15) имеем:

Ответ: из двух переданных сообщений более правдоподобно сообщение станции № 1.