Теоремы сложения и умножения вероятностей. Пусть с испытанием связаны события А и В

Пусть с испытанием связаны события А и В. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается или . Можно доказать, что

, (1.6)

где .

Например, в условиях предыдущего примера событие – попадание точки в заштрихованную область d, если известно, что точка лежит в области А (рис.1.7). Тогда по геометрическому определению вероятности (1.5)

.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

(1.7)

Эти равенства следуют из (1.6).

Напомним, что события А и В называются независимыми, если наступление или ненаступление одного из них не влияет на наступление другого, в этом случае

.

Следствие (вероятность произведения независимых событий). Если событие А и В независимы, то

. (1.8)

Этот факт может быть обобщен на случай произвольного числа независимых событий:

, (1.9)

т. е. вероятность произведения независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления хотя бы одного из двух событий равна сумме вероятностей каждого из них за вычетом вероятности их совместного наступления:

(1.10)

Следствие (вероятность суммы несовместных событий). Если события А и В несовместны, то

. (1.11)

Вообще, вероятность наступления хотя бы одного (одного или более) из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

(1.12)

Теорема. Вероятность появления х о т я б ы о д н о г о из независимых в совокупности событий равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

. (1.13)

Доказательство:

= , что и требовалось доказать.

Пример 1. Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятности того, что формула содержится в 1-м, 2-м, 3-м справочниках соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8.

Найти вероятности того, что формула содержится:

а) только в одном справочнике;

б) хотя бы в двух справочниках;

в) во всех трех справочниках;

г) хотя бы в одном справочнике.

Решение. Введем обозначения событий:

B_i – нужная студенту формула находится в i-м справочнике,

i = 1, 2, 3.

А – формула содержится только в одном справочнике;

В – формула содержится хотя бы в двух справочниках;

С – формула содержится во всех трех справочниках;

D – формула содержится хотя бы в одном справочнике.

По условию задачи: ; ; .

– независимые события и, следовательно, противоположные им события – независимы, причем

;

;

.

а) События А, В₁, В₂, В₃ связаны следующим образом:

.

События – слагаемые в правой части последнего равенства несовместны, а события–сомножители – независимы. По формулам (1.12) и (1.9) имеем:

б) Для событий В, В₁, В₂, В₃ справедливо следующее соотношение:

.

Аналогично п. а):

в) Для событий С, В₁, В₂, В₃ справедливо равенство:

.

По формуле (1.9):

г) Рассмотрим событие (противоположное событию D)– формулы нет ни в одном справочнике:

.

.

Ответ: а) б) в)

г) .

Пример 2. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы:

а) только второй экзамен (событие В);

б) только один экзамен (событие С);

в) три экзамена (событие D);

г) по крайней мере два экзамена (событие E);

д) хотя бы один экзамен (событие F).

Решение. Введем обозначения событий: А_i – студент сдаст i-й экзамен, где i = 1, 2, 3. Вычислим искомые вероятности событий:

а)

б)

в)

г)

д) .