Перестановки. Комбинации из n элементов по n, отличающиеся порядком, называются перестановками

Комбинации из n элементов по n, отличающиеся порядком, называются перестановками. Число перестановок из n элементов равно

(1.4)

Пример 5. Порядок выступления семи участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, то есть является перестановкой из 7 элементов. Их число находим по формуле (1.4):

вариантов.

Сформулируем важное правило, которое часто применяется при решении комбинаторных задач.

Правило произведения. Если элемент А может быть выбран n способами, после каждого такого выбора элемент B может быть выбран m способами, то выбор пары элементов А, В в указанном порядке может быть осуществлен способами.

Приведем примеры на вычисление вероятности случайного события с использованием формул комбинаторики.

Пример 6. Студенческая группа из 6 девушек и 8 юношей выбирает наудачу 5 человек для участия в конференции. Найти вероятность того, что 1) все выбранные лица оказались юношами; 2) среди выбранных лиц 3 юноши и 2 девушки.

Решение. Введем обозначения событий:

А – все выбранные лица оказались юношами;

В – среди выбранных лиц 3 юноши и 2 девушки.

Испытание – выбор случайным образом 5 лиц из 14.

Общее число N всех возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать 5 человек из 14:

.

1. Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию А:

,

так как 5 юношей из 8 можно отобрать способами.

Согласно классическому определению вероятности:

2. Событие В состоит в выборе 3 юношей из 8 и 2 девушек из 6. Число исходов, благоприятствующих событию В:

.

Имеем:

При решении задач подобного типа, когда исходное множество, из которого происходит выбор, делится по составу на две или более групп, удобно использовать схемы (рис. 1.1).