I. Примеры решения задач. Пример 1. Найти односторонние пределы функции в точке х = 1

Пример 1. Найти односторонние пределы функции в точке х = 1. Существует ли предел функции в точке х = 1?

Решение. Найдем правый предел функции в точке х = 1. Для этого вначале рассмотрим функцию . Так какпри х ® 1+0 (при х ® 1 справа) функция x - 1 ® 0, все время оставаясь больше нуля, т.е. x - 1 ® +0, то, z = = +∞. Тогда, = = .

Аналогично находим левый предел функции:

= = - .

Так как ¹ , то предел функции в точке х = 1 не существует.

Пример 2. Функция не определена в точке х = -1. Используя определение функции непрерывной в точке, доопределить данную функцию в точке х = -1 так, чтобы она стала непрерывной.

Решение. Найдем предел функции в точке х = -1:

= = = = 3.

Доопределим значение функции в точке х = -1 так, чтобы f (-1) = 3. В этом случае функция будет задаваться следующим образом:

Так как y = = 3 = y (3), то, по определению, данная функция непрерывна в точке х = -1.

Пример 3. Исследовать функции

а) ; б)

на непрерывность и определить характер точек разрыва.

Решение. а)Для нахождения области определения функции решим уравнение х ² - 5 х + 6 = 0. Корнями этого уравнения являются точки х ₁ = 2, х ₂ = 3. Следовательно, функция определена на интервалах (-∞, 2) (2, 3) (3, +∞). Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна на этих интервалах.

Точки х = 2 и х = 3 - точки разрыва функции.

Определим характер точки х = 2. Для этого найдем левый и правый пределы функции в данной точке:

= = + ∞,

= = - ∞.

Следовательно, точка х = 2 - точка разрыва второго рода.

Рассмотрим точку х = 3. Найдем предел функции в этой точке.

= = = = 6.

Так как в точке х = 3 существует предел функции, а функция в этой точке не определена, то х = 3 - точка устранимого разрыва. Как показано в примере 2, в точке устранимого разрыва функцию можно доопределить до непрерывной.

б)Областью определения функции является вся числовая прямая. Данная функция будет элементарной на интервалах (-∞, 0), (0, ) и (, +∞), следовательно, она непрерывна на этих интервалах. Точками возможного разрыва являются точки х = 0 и х = .

Найдем левый и правый пределы функции в точке х = 0:

f (х) = (х + 1) = 1,

f (х) = tg х = tg 0 = 0,

так как f (х) ¹ f (х), то данная точка - это точка разрыва первого рода (скачок).

Найдем левый и правый пределы функции в точке х = :

f (х) = tg х = -∞,

f (х) = 1 = 1,

так как левый предел функции равен -∞, то точка х = - точка разрыва второго рода.

II. Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте определения:

а) непрерывности функции в точке,

б) непрерывности функции на отрезке.

2. Сформулируйте теоремы о непрерывности сложной функции, элементарной функции.

3. Какие точки называются точками разрыва функции? Укажите типы точек разрыва функции.

III. Практические задания

1. Найдите точки разрыва функций: , , , (функция Дирихле). Укажите их тип. Какую из данных функций можно доопределить до непрерывной?

2. Исследовать на непрерывность функции:

а) , б) у = ,

в) у = , г) у = cos ,

д) y = arctg, е) ,

ж) y = { x }, з) y = [ x ].

3. Исследуйте на непрерывность, укажите тип точек разрыва, схематически постройте графики следующих функций:

а) , б) ,

в) г)

д) e) y = ln | x |,

ж) , з) .