I. Примеры решения задач. Пример 1. Доказать, используя определение предела функции, что = 3

Пример 1. Доказать, используя определение предела функции, что = 3.

Решение. Используем определение предела функции по Коши. Выберем произвольным образом e > 0. Найдем такое δ > 0 (δ зависит от e), чтобы для всех х, удовлетворяющих неравенству | x –2| < δ, выполнялось бы неравенство |– 3 | < e (*).

По определению модуля:

|– 3 | < e ó – e < – 3 < e ó

ó 3 – e < < 3 + e.

Так как все части данного неравенства при достаточно малом e являются положительными, то неравенство можно возвести в квадрат:

(3 – e)² < 11 – x < (3 + e)² ó – (6e + e²) < x – 2 < 6e – e² (**)

Выберем в качестве δ (e) число δ = 6e – e². Очевидно, что при всех х, удовлетворяющих неравенству | x – 2 | < δ, выполняется неравенство (**), а, следовательно, и неравенство (*). Т.е. выполняется определение Коши предела функции. Следовательно, = 3.

Пример 2. Доказать, что x sin= 0.

Р ешение. Воспользуемся определением Гейне предела функции. Рассмотрим произвольную последовательность { x_n } → 0 (x_n ¹ 0) и, соответствующую ей последовательность значений функции { x_n× sin}. Эта последовательность является бесконечно малой ({ x_n } – бесконечно малая, {sin} - ограниченная). Следовательно, по определению предела функции по Гейне, x× sin= 0.

Пример 3. Доказать, что функция Дирихле

не имеет предела ни в одной точке.

Решение. Докажем, что в произвольной точке а функция D (x) не удовлетворяет определению предела функции по Гейне. Для этого укажем две последовательности { x_n } и , сходящиеся к точке а, и такие, что .

Сначала рассмотрим последовательность { x_n } ® а, элементами которой являются рациональные числа. Тогда, для любого n, = 1, следовательно, = 1.

Теперь рассмотрим последовательность ® а, элементами которой являются иррациональные числа. Тогда, для всех n, = 0, следовательно, = 0.

Таким образом, . Отсюда следует, что предел функции D (x) в точке а не существует.

Пример 4. . Доказать, что .

Решение. По определению , если для любого М > 0 можно подобрать > 0, так, что для всех значений х а,удовлетворяющих условию | x – а | < δ, будет выполняться неравенство | f (x)| > M. В нашем случае по заданному М > 0 будем подбирать δ из условия | f (x)| > M, или | x –1| < . Следовательно, положив δ = , получим, что для всех значений х, удовлетворяющих условию | x –1| < δ, выполняется неравенство | f (x)| > M. Значит,

II. Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение предела функции в точке (по Гейне и по Коши).

2. Дайте определение того, что: а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж) . кции.

3. Сформулируйте критерий Коши существования предела функции.

III. Практические задания

1.Докажите, пользуясь определением предела функции в точке, что:

а) (1 – 2 х) = –3; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

2. Доказать, исходя из определения предела функции в точке и на бесконечности, что:

а) ; б)

в) г)

д)