I. Примеры решения задач. Пример 1.Функция y = f (u) определена на промежутке 0<u<1

Пример 1. Функция y = f (u) определена на промежутке 0< u <1. Найти область определения следующих функций: а) f (1 – x); б) f (x ²), в) f (sin x); г) f (ln x).

Решение. а)Область определения функции f (1 – x) находится из условия 0 < 1 - х < 1. Отсюда следует, что область существования этой функции есть интервал (0; 1).

б ) Область определения функции f (x ²) находится из неравенства 0 < х ² < 1, решая которое, получаем два интервала: (–1; 0) и (0; 1).

в)Для нахождения области определения функции f (sin x) решаем неравенство 0 < sin x < 1. Получаем .

г) Решая неравенство 0 < ln x < 1, получаем 1 < x < e.

Пример 2. Пусть , где x = t ² + 3 t – 1. Представить у как функцию от t и найти область определения этой функции.

Решение. Подставляя вместо х его значение, получим: или . Эта функция определена, если 4 - 3 t – t ² 0. Решая последнее неравенство, получим: .

Пример 3. Найти функцию, обратную для функции .

Решение. Функция определена при ; множеством значений этой функции является промежуток . Решая уравнение относительно х, получим единственное решение: х = у ² + 2. Эта функция и будет обратной для данной функции. Меняя обозначения в обратной функции на общепринятые, получим для нее выражение у = х ² + 2. Эта функция определена на промежутке и принимает значения из промежутка [2; + ).

Пример 4. Доказать, что функция y = x ² – x + 2:

а) необратима на всей числовой прямой;

б) обратима на интервале (– ; 2].

Решение. а) Уравнение x ² – x + 2 = у ₀ имеет решения и для любого у ₀ . При у ₀ > -2 эти решения различны, т.е. каждая прямая у = у ₀ пересекает график функции в двух точках. Значит, данная функция необратима на всей числовой прямой.

б) Уравнение x ² – x + 2 = у ₀ для любого у ₀ имеет лишь одно решение из промежутка (– ; 2]. Значит, на данном промежутке функция обратима. Функцией обратной для функции y = x ² – x + 2 на интервале (– ; 2]является функция .

II. Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение сложной функции.

2. Какая функция является обратимой?

3. Как найти обратную функцию?

4. Какие свойства взаимно обратных функций вы знаете?

III. Практические задания

1.Выразить у как функцию от х:

а) z = x ⁶; б) y = lg z, z = x ⁴;

в) y = 2 + z ², z = cos v, v = x ³; г) y = sin2 z, , v = 3 ^x.

2. Суперпозицией каких простейших элементарных функций может быть получена функция:

а) y = sin ² x; б) y = ln tg x;

в) ; г) ?

3.Даны функции f (x) = x ² – 2 x, Найти:

а) ; б) ;

в) f (f (1)); г) .

4. Определяется ли соотношениями y = arcsin t, сложная функция y = f (x)?

5. Определяется ли соотношениями y = ln t, t = sin x - 1 сложная функция y = f (x)?

6.Функция y = f (u) определена на промежутке u > 4. Найти области определения функций: а) f (1 – x); б) f (x ²), в) f ; г) .

7. Найти обратную функцию y = g (x) для функции:

а) f (x) = x ² + 1, x 0; б) f (x) = - x ² + 2 x + 3,

в) f (x) = e ^{x – 1}; г)

д) .

Построить графики функций y = f (x) и y = g (x).

8. Вычислить arcsin sin 2.

9. Построить графики функций:

а) y = cos arcos x; б) y = arccos cos x;

в) y = [ x ²]; г) y = sgn log₂ ;

д) ; е) y = sgn cos x.