Переменного

I.Примеры решения задач

Пример 1. Доказать, что функция является нечетной.

Решение. Область определения данной функции является симметричным относительно начала координат множеством. Проверим выполнение условия y (– x) = – y (x). Получаем , следовательно, данная функция является нечетной.

Пример 2. Найти основной период функции y = 2sin(3 x + 1).

Решение. Пусть Т – период функции. Тогда для всех значений х имеем:

2sin (3(x + T) + 1) = 2sin (3 x + 1),

или

2sin (3(x + T) + 1) - 2sin (3 x + 1) = 0.

Получаем 4cos (3 x +1+3 T/ 2) sin (3 T/ 2) = 0. Так как последнее равенство является тождеством, т.е. выполняется при всех допустимых значениях х, то делаем вывод, что sin (3 T/ 2) = 0. Значит 3 T/ 2 = , где . Следовательно, . Наименьшим положительным числом, удовлетворяющим этому условию, является .

Покажем, что период функции:

= 2 sin (3 x + 1 + ) = 2 sin (3 x + 1) = f (x),

а это и означает, что число является периодом функции.

Пример 3. Доказать, что функция ограничена на всей числовой оси.

Решение. Воспользуемся неравенством , которое выполняется для всех действительных х. Тогда для любого : . Это и означает, что функция ограничена.

II. Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение четной и нечетной функций.

2. Докажите, что сумма, произведение и частное двух четных функций является четной функцией.

3. Докажите, что сумма двух нечетных функций является функцией нечетной.

4. Дайте определение периодической функции.

5. Что называется основным периодом функции?

6. Приведите пример периодической функции, у которой основной период равен 2.

7. Дайте определение ограниченной сверху (ограниченной снизу, ограниченной) функции.

8. Дайте определение неограниченной сверху (неограниченной снизу) функции.

9. Что называется точной верхней (точной нижней) границей функции?

10. Привести пример функции ограниченной сверху (ограниченной снизу), но не имеющей максимального (минимального) значения.

III. Практические задания

1. Исследовать функцию на четность, нечетность:

а) y = x ², x [–3; 5]; б)

в) y = x ³ sin x; г)

д) е)

2. Найти основной период функции:

а) б) y = cos ² x;

в) y = 3cos 2 x + 5sin 2 x + 4; г)

3. Функция f (x) имеет период Т = 2 и для х [0; 2] задана формулой y = 2 x – x ². Построить график функции. Найти f (2012).

4. Является ли периодической функция Дирихле

Если это периодическая функция, то чему равен ее основной период?

5. Найти множество значений функции. Чему равны sup f, inf f,а также max f, min f, если последние существуют?

а) y = –x ² + 2 x + 5; б)

в) y = 5 + 2cos x; г) y = 2 – 5 ^x.