I. Примеры решения задач. Пример 1.Доказать, что tg x ~ x при х ® 0

Пример 1. Доказать, что tg x ~ x при х ® 0.

Решение. Рассмотрим

= = = 1.

Следовательно, tg x ~ x при х ® 0.

Пример 2. Даны две бесконечно малые при х ® 0 функции a (х) = x ²sin ² x и b (х) = x tg x. Доказать, что a (х) = о (b (х)).

Решение. Так как

= = × = 0,

то функция a (х) является бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b (х), т.е. a (х) = о (b (х)).

Пример 3. Найти, используя эквивалентные бесконечно малые функции.

Решение. Так как tg x ~ x при x → 0, то tg (x – 2) ~ (x – 2) при x → 2. Следовательно:

= = =.

II.Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение бесконечно малой функции при х ® а.

2. Какие бесконечно малые функции при х ® а называются бесконечно малыми функциями одного порядка, высшего порядка, эквивалентными при х ® а?

3. Приведите примеры эквивалентных бесконечно малых функций.

4. Каким образом эквивалентные бесконечно малые функции используются при вычислении пределов функций?

III. Практические задания

1. Какие из следующих пар функций являются эквивалентными при х ® 0:

а) f (x) = sin² x ², g (x) = x ⁴; б) f (x) = , g (x) = x;

в) f (x) = 1 – cos x, g (x) = x ²; г) , g (x) = x.

2. Определить, какие из нижеследующих функций при х ® 0 будут бесконечно малыми одного порядка, высшего порядка, низшего порядка по сравнению с х:

а) ; б) ;

в) ; г) f (x) = cos5 x – cos3 x;

д) f (x) = cos² x – cos x; е) .

3. Вычислить пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции:

а) ; б) ;

в) ; г) .