I. Примеры решения задач. Пример 1. Доказать, что последовательность {(-1)n} расходится

Пример 1. Доказать, что последовательность {(-1) ⁿ } расходится.

Решение. Рассмотрим две подпоследовательности данной последовательности: { x _{2 n} } º {1} и { x _{2 n + 1}} º {-1}. Так как x _{2 n} = 1, а x _{2 n + 1} = -1, то последовательность {(-1) ⁿ } имеет две предельные точки: 1 и -1. Следовательно, последовательность {(-1) ⁿ } расходится.

Пример 2. Найти

а) все предельные точки последовательности {sin n °};

б) верхний и нижний пределы этой последовательности.

а)Учитывая свойства функции y = sin x, получаем, что при любом натуральном n данная функция принимает одно из 181 значений: 0. sin 1°, ± sin 2°, ± sin 3°, …, ± sin 89°, ± 1. При этом, каждое из этих чисел встречается в последовательности бесконечное число раз. Следовательно, каждое указанное число является предельной точкой последовательности {sin n °}. Других предельных точек последовательность не имеет.

б)Из указанных 181 предельных точек наименьшей является - 1, а наибольшей 1. Значит (n → (sin n ° = 1, sin n ° = - 1.

II. Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение подпоследовательности числовой последовательности.

2. Дайте определение предельной точки числовой последовательности, верхнего и нижнего пределов последовательности.

3. Последовательность { x_n } имеет две подпоследовательности, сходящиеся к различным пределам. Сходится ли последовательность { x_n }?

4. Может ли бесконечно большая последовательность иметь сходящуюся подпоследовательность?

5. Доказать, что любая расходящаяся последовательность имеет бесконечно большую подпоследовательность.

6. Если последовательность { x_n } имеет единственную предельную точку, является ли последовательность сходящейся?

III. Практические задания

1. Найти все предельные точки последовательности, а также (n → (x_n, x_n, если:

а) x_n = (-1) ^{n – 1} , б) x_n = arctg × n,

в) x_n = , г) x_n = 1 + n sin ,

д) x_n = + , е) x_n = 1 + cos .