I. Примеры решения задач. Пример 1. Используя определение предела последовательности, доказать, что =

Пример 1. Используя определение предела последовательности, доказать, что = .

Решение. Рассмотрим последовательность { x_n } =. Докажем, что для любого e > 0 существует такое N = N (e), что для всех n > N выполняется неравенство | x _n – 1| = < e.

Зададим произвольное e > 0. Рассмотрим

= = < e.

< < < e.

Решив неравенство относительно n, получим n >. Положим N =, тогда для всех n > N выполняется неравенство < < < < e. Следовательно, по определению предела последовательности,

= .

Пример 2. Доказать, что последовательность { 1, 2,, 4., 6,, … } = = расходится.

Решение. Доказательствобудем проводить методом от противного. Пусть n = a, тогда для любого e > 0, существует такой номер N, что для всех номеров n > N выполняется неравенство

| x_n - a | < e.

Если a = 0, то для любого e < 1 и для любых n = 2 k выполняется неравенство | x _{2 k} | > e, что противоречит определению предела последовательности.

Пусть а ¹ 0. Рассмотрим e = и элементы последовательности с номерами n = 2 k + 1 >: x _{2 k + 1} = <. Тогда

| x _{2 k + 1} - a | = ³ | a | - > | a | - =.

то есть | x _{2 k + 1} - a | > e. Что опять противоречит определению предела последовательности. Следовательно, последовательность не имеет предела.

Пример 3. Найти.

Решение. При n → ¥, числитель и знаменатель дроби также стремится к бесконечности. Получим неопределенность вида . Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на n ²:

= = = 2.

(Здесь принимается во внимание, что = 0, = 0).

Пример 4. Найти .

Решение. В данном пределе имеет место неопределенность типа (∞ - ∞). Для раскрытия этой неопределенности умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное ему выражение :

= =

= = = .

Разделим числитель и знаменатель дроби на n:

= = = .

Пример 5. Найти x_n, если

x_n = + + … +.

Решение. Элемент x_n представляет собой сумму, состоящую из n слагаемых (n - порядковый номер данного элемента), каждое из которых при n → ∞ стремится к нулю (неопределенность вида (0× ∞)).

Рассмотрим последовательности { y_n } и { z_n }, где y_n =, z_n =. Для всех элементов последовательностей { x_n }, { y_n }, { z_n } выполняется неравенство: y_n £ x_n £ z_n.

Найдем y_n и z_n. Для каждого из этих пределов имеем неопределенности вида . Для их раскрытия поступаем так же, как в примере 3: делим числитель и знаменатель дробей, стоящих под знаком предела на n:

y_n = == = 1.

z_n = = = = 1.

Тогда, по теоре м е о пределе промежуточной последовательности, x_n = 1.

II. Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте определение предела последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию этого определения.

2. Сформулируйте определение расходящейся последовательности и дайте геометрическую интерпретацию этого определения.

3. Пусть последовательность { x_n } - сходится. Если удалить (добавить) конечное число членов последовательности, то будет ли полученная последовательность сходящейся?

4. Пусть последовательность { x_n } - ограничена. Следует ли из этого условия, что последовательность { x_n } сходится?

5. Существуют ли последовательности имеющие два различных предела?

6. Перечислите свойства предела последовательности.

7. Пусть последовательности { x_n } и { y_n } сходятся. Являются ли сходящимися сумма, разность, произведение, частное этих последовательностей?

8. Пусть в некоторой окрестности точки а лежит бесконечное число членов последовательности { x_n }. Следует ли из этого условия, что x_n = a?

9. Пусть x_n = a, а ¹ 0. Может ли последовательность иметь бесконечное число отрицательных (равных нулю) членов, если а > 0?

III. Практические задания

1. Используя определение предела последовательности, доказать что: а) = 2, б) = 1, в) = 0.

2. Найти следующие пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) .