I. Примеры решения задач. Решение. Используя теорему о пределе арифметической суммы функций, получим

Пример1. Вычислить (5 х ³ + 2 х ² – 3 х + 7).

Решение. Используя теорему о пределе арифметической суммы функций, получим

(5 х ³ + 2 х ² – 3 х + 7) = (5 х ³) + (2 х ²) – (3 х) + 7 =

= 5 х ³ + 2 х ² – 3 х + 7 = 5( х)³ + 2( х)² – 3( х) + 7 =

= 5×2³ + 2×2² – 3×2+ 7 = 49.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Знаменателем дроби является функция g (x) = х ² + 3 х + 3. Так как g (3) =3² + 3×3 + 3 = 21 ¹ 0, то можно применить теорему о пределе частного:

= = = .

Пример 3. Вычислить .

Решение. Числителем дроби является функция f (x) = х ³ – 2 х – 3, знаменателем дроби - функция g (x) = х ² – 3 х + 2.

Так как f (2) =2³ – 2×2 – 3 = 1, а g (2) =2² – 3×2 + 2 = 0, то теорему о пределе частного применять нельзя. Но, так как g (x) = х ² – 3 х + 2 бесконечно малая при функция, а f (x) = х ³ – 2 х – 3 ограниченная функция, отделенная от нуля при , получим:

= = ¥.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Так как f (2) =2² – 5×2 + 6 = 0, g (2) =2² – 4 = 0, то имеет место неопределенность . Для раскрытия этой неопределенности разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

= = = = – .

Пример 5. Вычислить .

Решение. Учитывая, что ® 0 при х ® ¥, получим () = = ¥ и () = ¥, следовательно, имеет место неопределенность , для раскрытия которой в числителе и знаменателе дроби вынесем за скобки х ³:

= = = .

Пример 6. Вычислить .

Решение. Под знаком предела имеет место неопределенность , раскроем ее с помощью первого замечательного предела.

= = | 7 x = t, t ® 0| = = 7.

Пример 7. Используя свойства предела функции, замечательные пределы, найти:

1); 2);

3); 4);

5); 6).

Решение. 1)При х = 1 числитель и знаменатель дроби равны нулю. Имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь:

= =

= =.

2)Под знаком предела имеем неопределённость вида . Умножим числитель и знаменатель на выражения сопряжённые выражениям и -1. Для сопряжённым будет выражение, дополняющее данное выражение до формулы (a – b)(a + b) = = a ² – b ². Для -1 сопряжённым является выражение, дополняющее данное выражение до формулы (a – b)(a ² + ab + 1) = a ³ – b ³. Тогда:

= =

= =

= = – = –

3)Имеем неопределённость вида . Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, так чтобы можно было использовать первый замечательный предел. Учитываем, что 1 – cos x = 2 sin²:

= = =

= =.

4)Имеем неопределенность(1 ^∞). Для раскрытия этой неопределённости используется второй замечательный предел:

x (0\f(2 (x;2 = x (01 (\f(x;2 = x (01 (\f(x;2=
= x (0\b(1 (\f(x;2 = lim;\s\don8(x (01 (\f(x;2 = =.

5) Имеет место неопределённость вида . Преобразуем выражение так, чтобы можно было использовать второй замечательный предел:

= = x (0;a = = \o\ac(lim;\s\don8(x (01 + x = =.

6) Неопределённость вида . Положим a ^x – 1 = y. Если х → 0, то и у → 0. Тогда а^х = 1 + у, х = log _a (1 + y) и

= = ln a.

II.Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте теорему о пределе суммы, произведения и частного двух функций.

2. Какие виды неопределенных выражений вы знаете?

3. Пусть , . Чему равны пределы: а) б) в) г) д) е)

4. Как записываются первый и второй замечательные пределы?

III. Практические задания

Найти:

1. ; 2. ;;

3. 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26.

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

31. ; 32. ;

33. ; 34. ;

35. ; 36. ;

37. ; 38. ;

39. ; 40. ;

41. ; 42. .