Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пример1. Вычислить (5 х 3 + 2 х 2 – 3 х + 7).
Решение. Используя теорему о пределе арифметической суммы функций, получим
(5 х 3 + 2 х 2 – 3 х + 7) = (5 х 3) + (2 х 2) – (3 х) + 7 =
= 5 х 3 + 2 х 2 – 3 х + 7 = 5( х)3 + 2( х)2 – 3( х) + 7 =
= 5×23 + 2×22 – 3×2+ 7 = 49.
Пример 2. Вычислить .
Решение. Знаменателем дроби является функция g (x) = х 2 + 3 х + 3. Так как g (3) =32 + 3×3 + 3 = 21 ¹ 0, то можно применить теорему о пределе частного:
= = = .
Пример 3. Вычислить .
Решение. Числителем дроби является функция f (x) = х 3 – 2 х – 3, знаменателем дроби - функция g (x) = х 2 – 3 х + 2.
Так как f (2) =23 – 2×2 – 3 = 1, а g (2) =22 – 3×2 + 2 = 0, то теорему о пределе частного применять нельзя. Но, так как g (x) = х 2 – 3 х + 2 бесконечно малая при функция, а f (x) = х 3 – 2 х – 3 ограниченная функция, отделенная от нуля при , получим:
= = ¥.
Пример 4. Вычислить .
Решение. Так как f (2) =22 – 5×2 + 6 = 0, g (2) =22 – 4 = 0, то имеет место неопределенность . Для раскрытия этой неопределенности разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
= = = = – .
Пример 5. Вычислить .
Решение. Учитывая, что ® 0 при х ® ¥, получим () = = ¥ и () = ¥, следовательно, имеет место неопределенность , для раскрытия которой в числителе и знаменателе дроби вынесем за скобки х 3:
= = = .
Пример 6. Вычислить .
Решение. Под знаком предела имеет место неопределенность , раскроем ее с помощью первого замечательного предела.
= = | 7 x = t, t ® 0| = = 7.
Пример 7. Используя свойства предела функции, замечательные пределы, найти:
1); 2);
3); 4);
5); 6).
Решение. 1)При х = 1 числитель и знаменатель дроби равны нулю. Имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь:
= =
= =.
2)Под знаком предела имеем неопределённость вида . Умножим числитель и знаменатель на выражения сопряжённые выражениям и -1. Для сопряжённым будет выражение, дополняющее данное выражение до формулы (a – b)(a + b) = = a 2 – b 2. Для -1 сопряжённым является выражение, дополняющее данное выражение до формулы (a – b)(a 2 + ab + 1) = a 3 – b 3. Тогда:
= =
= =
= = – = –
3)Имеем неопределённость вида . Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, так чтобы можно было использовать первый замечательный предел. Учитываем, что 1 – cos x = 2 sin2:
= = =
= =.
4)Имеем неопределенность(1 ∞). Для раскрытия этой неопределённости используется второй замечательный предел:
x (0\f(2 (x;2 = x (01 (\f(x;2 = x (01 (\f(x;2=
= x (0\b(1 (\f(x;2 = lim;\s\don8(x (01 (\f(x;2 = =.
5) Имеет место неопределённость вида . Преобразуем выражение так, чтобы можно было использовать второй замечательный предел:
= = x (0;a = = \o\ac(lim;\s\don8(x (01 + x = =.
6) Неопределённость вида . Положим a x – 1 = y. Если х → 0, то и у → 0. Тогда ах = 1 + у, х = log a (1 + y) и
= = ln a.
II.Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте теорему о пределе суммы, произведения и частного двух функций.
2. Какие виды неопределенных выражений вы знаете?
3. Пусть , . Чему равны пределы: а) б) в) г) д) е)
4. Как записываются первый и второй замечательные пределы?
III. Практические задания
Найти:
1. ; 2. ;;
3. 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. ;
19. ; 20. ;
21. ; 22. ;
23. ; 24. ;
25. ; 26.
27. ; 28. ;
29. ; 30. ;
31. ; 32. ;
33. ; 34. ;
35. ; 36. ;
37. ; 38. ;
39. ; 40. ;
41. ; 42. .
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 524 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!