![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пример1. Вычислить (5 х 3 + 2 х 2 – 3 х + 7).
Решение. Используя теорему о пределе арифметической суммы функций, получим
(5 х 3 + 2 х 2 – 3 х + 7) =
(5 х 3) +
(2 х 2) –
(3 х) +
7 =
= 5 х 3 + 2
х 2 – 3
х +
7 = 5(
х)3 + 2(
х)2 – 3(
х) + 7 =
= 5×23 + 2×22 – 3×2+ 7 = 49.
Пример 2. Вычислить
.
Решение. Знаменателем дроби является функция g (x) = х 2 + 3 х + 3. Так как g (3) =32 + 3×3 + 3 = 21 ¹ 0, то можно применить теорему о пределе частного:
=
=
=
.
Пример 3. Вычислить
.
Решение. Числителем дроби является функция f (x) = х 3 – 2 х – 3, знаменателем дроби - функция g (x) = х 2 – 3 х + 2.
Так как f (2) =23 – 2×2 – 3 = 1, а g (2) =22 – 3×2 + 2 = 0, то теорему о пределе частного применять нельзя. Но, так как g (x) = х 2 – 3 х + 2 бесконечно малая при функция, а f (x) = х 3 – 2 х – 3 ограниченная функция, отделенная от нуля при
, получим:
=
= ¥.
Пример 4. Вычислить
.
Решение. Так как f (2) =22 – 5×2 + 6 = 0, g (2) =22 – 4 = 0, то имеет место неопределенность . Для раскрытия этой неопределенности разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
=
=
=
= –
.
Пример 5. Вычислить
.
Решение. Учитывая, что ® 0 при х ® ¥, получим
(
) =
= ¥ и
(
) = ¥, следовательно, имеет место неопределенность
, для раскрытия которой в числителе и знаменателе дроби вынесем за скобки х 3:
=
=
=
.
Пример 6. Вычислить
.
Решение. Под знаком предела имеет место неопределенность , раскроем ее с помощью первого замечательного предела.
=
= | 7 x = t, t ® 0| =
= 7.
Пример 7. Используя свойства предела функции, замечательные пределы, найти:
1); 2);
3); 4);
5); 6).
Решение. 1)При х = 1 числитель и знаменатель дроби равны нулю. Имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь:
= =
= =.
2)Под знаком предела имеем неопределённость вида . Умножим числитель и знаменатель на выражения сопряжённые выражениям и -1. Для сопряжённым будет выражение, дополняющее данное выражение до формулы (a – b)(a + b) = = a 2 – b 2. Для -1 сопряжённым является выражение, дополняющее данное выражение до формулы (a – b)(a 2 + ab + 1) = a 3 – b 3. Тогда:
= =
= =
= = – = –
3)Имеем неопределённость вида . Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, так чтобы можно было использовать первый замечательный предел. Учитываем, что 1 – cos x = 2 sin2:
= = =
= =.
4)Имеем неопределенность(1 ∞). Для раскрытия этой неопределённости используется второй замечательный предел:
x (0\f(2 (x;2 = x (01 (\f(x;2 = x (01 (\f(x;2=
= x (0\b(1 (\f(x;2 = lim;\s\don8(x (01 (\f(x;2 = =.
5) Имеет место неопределённость вида . Преобразуем выражение так, чтобы можно было использовать второй замечательный предел:
= = x (0;a = = \o\ac(lim;\s\don8(x (01 + x = =.
6) Неопределённость вида . Положим a x – 1 = y. Если х → 0, то и у → 0. Тогда ах = 1 + у, х = log a (1 + y) и
= = ln a.
II.Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте теорему о пределе суммы, произведения и частного двух функций.
2. Какие виды неопределенных выражений вы знаете?
3. Пусть ,
. Чему равны пределы: а)
б)
в)
г)
д)
е)
4. Как записываются первый и второй замечательные пределы?
III. Практические задания
Найти:
1. ; 2.
;;
3. 4.
;
5. ; 6.
;
7. ; 8.
;
9. ; 10.
;
11. ; 12.
;
13. ; 14.
;
15. ; 16.
;
17. ; 18.
;
19. ; 20.
;
21. ; 22.
;
23. ; 24.
;
25. ; 26.
27. ; 28.
;
29. ; 30.
;
31. ; 32.
;
33. ; 34.
;
35. ; 36.
;
37. ; 38.
;
39. ; 40.
;
41. ; 42.
.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 538 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!