I. Примеры решения задач. Пример 1.Для числовых последовательностей

Пример 1. Для числовых последовательностей

1) º 1,,,...,,....

2) { 1 + (-1) ⁿ } º 0, 2, 0, 2,....

3) { n } º 1, 2, 3,....

определить, какие из этих последовательностей являются а) возрастающими, б) убывающими, в) ограниченными сверху, г) ограниченными снизу, д) ограничеенными.

Решение. 1) Для последовательности: x_n =, x_{n + 1} =. Так как для всех натуральных n выполняется неравенство >, то, x_n > x_{n + 1}. Следовательно, по определению убывающей последовательности, эта последовательность является убывающей.

Так как для любого элемента последовательности выполняются неравенства x_n ≤ 1, x_n > 0 (x_n =1 при n = 1), то последовательность ограничена и сверху и снизу, следовательно, она ограничена. Последовательность имеет наибольший элемент x ₁ = 1 и не имеет наименьшего.

2) Последовательность {1 + (-1) ⁿ } не является монотонной, так как для всех элементов последовательности выполняются неравенства x _{2 k – 1} ≤ x _{2 k}, x _{2 k} ≥ x _{2 k +1}.

Последовательность ограничена.

3) Последовательность { n } является возрастающей, так как для всех элементов последовательностей выполняется неравенство x_n ≤ x_{n + 1}.

Последовательность ограничена снизу, так как все элементы последовательности больше или равны 1 (x ₁ = 1 - наименьший элемент последовательности). Последовательность неограниченна сверху, так как, очевидно, для любого наперед заданного числа А, всегда найдется такой элемент последовательности, который будет больше А.

Пример 2. Доказать, что последовательность { aⁿ }является:

а) бесконечно большой, при | a | > 1;

б) бесконечно малой, при | a | < 1.

Решение. а) Пусть | a | > 1. Докажем, что последовательность { aⁿ } удовлетворяет определению бесконечно большой последовательности, т.е. для любого числа A > 0 найдется такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство

| a |ⁿ > A.

Для 0 < А £ 1, неравенство выполняется для любых n. Зададим произвольное A >1. Для отыскания номера N решим относительно n неравенство | a |ⁿ > A. Получим

n > log _{| a |} A.

Положим N = [log _{| a |} A ]. Тогда для любого n > N выполняется неравенство n > log _{| a |} A, а следовательно, и неравенство | a |ⁿ > A. Что и требовалось доказать.

б) Пусть | a | < 1. Пусть a = 0, тогда последовательность { aⁿ } = {0}– бесконечно малая. Пусть а ¹ 0. Представим а в виде а =, где k > 1. Тогда аⁿ =. Так как | k |> 1, то последовательность { kⁿ } является бесконечно большой, а последовательность - бесконечно малой. Таким образом, последовательность { aⁿ } при | a | < 1 – бесконечно малая.

II. Контрольные вопросы и задания

1. Всякое ли числовое множество является числовой последовательностью?

2. Может ли ограниченное упорядоченное числовое множество являться числовой последовательностью?

3. Сформулируйте определение а) последовательности, б) ограниченной сверху, ограниченной снизу, ограниченной, неограниченной числовой последовательности.

4. Пусть в некоторой окрестности точки а лежит бесконечно много элементов последовательности { x_n }. Следует ли из этого условия, что последовательность { x_n } ограничена?

5. Пусть " e > 0, $ положительное натуральное число N, такое, что " n > N все элементы последовательности { x_n } попадают в e –окрестность некоторой точки а. Следует ли отсюда, что последовательность ограничена?

6. Дайте определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности.

7. Является ли бесконечно малая последовательность ограниченной?

8. Может ли бесконечно большая последовательность быть ограниченной а) снизу, б) сверху, в) ограниченной?

9. Перечислите свойства бесконечно малой (бесконечно большой) последовательности. Будут ли сумма, произведение бесконечного числа бесконечно малых последовательностей являться бесконечно малыми последовательностями?

10. Что можно сказать о частном двух бесконечно малых (бесконечно больших) последовательностей, о разности двух бесконечно больших последовательностей, о произведении бесконечно большой и бесконечно малой последовательности. Приведите примеры, иллюстрирующие ответ.

III. Практические задания

1. Даны следующие последовательности:

а) 1, , 1, , 1, , …; б) 1, 2, 3, 4, 5, …;

в) ; г) 1, , , , , …;

д) е) .

Ответить на вопросы:

а) является ли последовательность ограниченной сверху, ограниченной снизу, ограниченной;

б) имеет ли последовательность наибольший или наименьший элементы;

в) является ли последовательность монотонной?

2. Используя определение бесконечно малой последовательности, доказать что последовательности: а) , б) , в) , г) -

являются бесконечно малыми.

3. Используя определение бесконечно большой последовательности, доказать что последовательности: а) { n }, б) , в) , г) -

являются бесконечно большими.