I. Примеры решения задач. Пример 1.Решить неравенство , исходя из определения модуля действительного числа и геометрически

Пример 1. Решить неравенство , исходя из определения модуля действительного числа и геометрически.

Решение. Неравенство, содержащее знак модуля, решается, как правило, методом «перебора». Находим те значения х, при которых выражения под знаком модуля равны нулю. 2 х + 1 = 0 при х = – 1/2, х – 3 = 0 при х = 3. Точки – 1/2 и 3 разбивают числовую ось на промежутки, на каждом из которых выражения под знаком модуля имеют постоянный, легко определяемый знак (рис. 1). Это позволяет на каждом из промежутков раскрыть модули, используя определение модуля.

1. Будем искать решение неравенства на промежутке . Здесь 2 х + 1 £ 0,следовательно, |2 х + 1| = –(2 х + 1) = –2 х – 1; x – 3 < 0, следовательно, | х – 3| = –(х – 3) = – х + 3. Неравенство примет вид – 2 х – 1 £ 1 – х + 3, откуда х ³ – 5. Получаем решение, являющееся пересечением промежутков [–5, +¥) и , т.е. промежуток .

2. Пусть . Здесь 2 х + 1 > 0, x – 3 £ 0. Неравенство имеет вид 2 х + 1 £ 1 – х + 3, откуда х £ 1. Так как , то решением неравенства является пересечение промежутков и (–¥, 1], т.е. промежуток .

3. Пусть х Î (3, + ¥). На этом промежутке 2 х + 1 > 0, х – 3 > 0. Имеем неравенство 2 х + 1 £ 1 + х – 3, откуда х £ – 3. На рассматриваемом промежутке таких значений х нет.

Ответ мы получим, объединяя найденные решения:

.

Геометрическое решение неравенства получим, построив в одной и той же системе координат графики функций, образующих левую и правую части неравенства:

а) . График этой функции можно получить из графика функции y = 2 x + 1, отобразив лежащую под осью ОХ часть графика симметрично относительно оси ОХ.

б) . Строим график функции y = подобно тому, как было указано выше, и поднимаем его на единицу вверх.

Из рисунка 2 видно, что графики пересекаются в точках –5 и 1 и что на интервале (– 5, 1) график функции у = расположен ниже графика функции у = . Неравенство выполняется на отрезке [ – 5, 1].

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Уравнение вида равносильно уравнению (f (x))² = (g (x))² или совокупности двух уравнений

Тогда Û Û Û

Корнями уравнения являются числа х ₁ = и х ₂ = .

II. Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение модуля (абсолютной величины) действительного числа.

2. Перечислите свойства абсолютной величины действительного числа.

3. Докажите, что при а > 0 неравенство равносильно неравенству .

4. Докажите, что при а > 0 неравенство равносильно совокупности неравенств

III. Практические задания

1. Решите уравнения:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к)

2. Решите неравенства:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к)

л) м)