I. Примеры решения задач

Пример 1. Определить, какие из нижеперечисленных бесконечных десятичных дробей выражают рациональные числа, какие – иррациональные, и записать рациональные числа в виде обыкновенных дробей: а) 1,(28); б) 2,41(7); в)3,1(9); г) 0,202202220….

Решение. Согласно правилу преобразования бесконечных десятичных периодических дробей в обыкновенные, имеем:

а) 1,(28) = ;

б) 2,41(7) =

в) 3,1(9) = 3,2;

г) десятичная дробь 0,202202220… – инепериодическая, следовательно, она выражается иррациональным числом.

Пример 2. Доказать, что не существует такого рационального числа, что r ² = 2.

Решение. Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что число r рациональное. Тогда существует такая несократимая рациональная дробь , где m и n – взаимно простые натуральные числа, что r = . Возведем обе части данного равенства в квадрат, тогда = 2 или m ² = 2 n ². Значит, m – число четное: m = 2 k (k – натуральное число). Тогда n ² = 2 k ², следовательно, n – четное число. Это противоречит предположению, что m и n – взаимно простые натуральные числа.

Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.

Пример 3. Доказать, что если r – рациональное число (r ), а – иррациональное число, то число – иррациональное.

Решение. Пусть . Предположим, что рациональное число. Тогда число должно быть рациональным, так как частное двух рациональных чисел есть число рациональное. Получаем противоречие. Следовательно, число – иррациональное.

II. Контрольные вопросы и задания

1. Какие числа называются натуральными, рациональными, иррациональными, действительными?

2. Что такое обыкновенная дробь?

3. В чем состоит различие бесконечных десятичных дробей, представляющих рациональные и иррациональные числа?

4. Сформулируйте правило перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную.

5. Перечислите свойства рациональных чисел.

6. Дайте определение иррационального числа.

7. Сформулируйте теорему Дедекинда.

III. Практические задания

1. Записать число в виде бесконечной десятичной дроби: а) 3; б) ; в) ; г) .

2. Какие из данных обыкновенных дробей можно записать в виде конечных десятичных дробей: а) ; б) ; в) ; г) ?

3. Записать число в виде обыкновенной дроби: а) 0,(354); б) 0,5(36); в) 4,15(182).

4. Укажите, какие из данных чисел являются рациональными: а) ; б) ; в) ; г) .

5. Докажите, что не существует рационального числа r такого, что: а) r ² = 3; б) r ² = 5; в) r ³ = 3; г) r = log₂5; д) r = log₃2.

6. Указать два иррациональных числа, таких что: а) их сумма рациональна; б) их разность рациональна; в) их произведение рационально.

7. Пусть r – рациональное число, – иррациональное число. Докажите, что сумма этих чисел иррациональна.

8. Пусть и – иррациональные числа, – рациональное число. Докажите, что числа , – иррациональные.