 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Грани числовых множеств
|
|
I.Примеры решения задач
Пример 1. Доказать, что множество чисел Е = 
ограничено. Найти точную верхнюю и точную нижнюю грани множества (sup E, inf E).
Решение. Оценим выражение 
. Так как = 
, то 
. Следовательно, множество Е ограничено.
Покажем, что inf E = 
. Для этого воспользуемся определением точной нижней грани множества. Покажем, что выполняются условия:
1) 
;
2) 
.
1) Докажем, что . Это равносильно неравенству 2(n 2 + 1) 
2 n 2. Последнее неравенство является верным для всех натуральных n, значит, первое условие доказано.
2) Возьмем любое 
. Решим неравенство 
. Преобразуем левую часть неравенства: 
или 
. Отсюда получаем, что 
. При 
данное неравенство верно.
Следовательно, inf E = .
Покажем, что sup E = 1.
1. Вначале докажем, что для всех натуральных чисел выполняется: = 
Это неравенство равносильно неравенству 
или неравенству 
. Последнее неравенство справедливо при всех натуральных числах. Значит, число М = 1 является верхней гранью множества.
2. Поскольку при n = 1 выполняется равенство 
, т.е. 
, то число М = 1 является точной верхней гранью.
Пример 2. Доказать, что множество чисел Е = 
неограничено сверху.
Решение. Пусть М – любое действительное число. Докажем, что найдется натуральное число n такое, что будет выполняться неравенство 
.
Решаем данное неравенство. Получаем: 2 n 2 + 3 > Mn + M или 2 n 2 – Mn + (3 - M) > 0. Очевидно, что данное неравенство выполняется при 
, а это и означает, что множество Е неограниченно сверху.
II. Контрольные вопросы и задания
1. Какое множество называется ограниченным сверху (снизу)?
2. Дайте определение верхней (нижней) границы множества.
3. Какое множество называется неограниченным сверху (снизу)?
4. Дайте определение неограниченного множества.
5. Докажите, что если Е – ограниченное множество, то существует такое действительное число К, что для всех 
будет выполняться неравенство 
.
6. Дайте определение точной верхней (нижней) грани множества.
7. Докажите единственность точных границ.
8. Покажите, что точная верхняя (нижняя) граница множества может как принадлежать данному множеству, так и не принадлежать.
9. Сформулируйте теорему о существовании у ограниченного сверху (снизу) множества точной верхней (нижней) грани.
III. Практические задания
1. Доказать, что следующие множества являются ограниченными. Найти точные нижние и точные верхние грани этих множеств:
а) Е = (–2; 3]; б) 
;
в) 
; г) 
.
2. Выяснить, какие из нижеследующих числовых множеств ограничены сверху, какие ограничены снизу, какие не ограничены. Найти точные верхние и нижние грани для ограниченных множеств.
а) множество действительных чисел, принадлежащих отрезку [–1; 2], интервалу [–1; 2), полупрямой (-∞; 2], полупрямой (2; + ∞).
б) множество рациональных чисел 
для которых 0 < p < q;
в) множество рациональных чисел для которых 0 < q < p;
г) множество иррациональных чисел, лежащих на отрезке [–1; 2];
д) множество чисел вида 
;
е) множество чисел вида 
;
ж) множество чисел вида 
;
з) множество чисел вида 
.
3. Пусть 
. Доказать, что множество Х не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элемента. Найти sup Х и inf Х.
4. Пусть 
и 
. Доказать, что sup (– Х) = – inf Х, inf (– Х) = – sup Х.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1650 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
