Касательные плоскости и нормаль поверхности

Прос-во некоторая поверхность задана уравнением .

Определение: Прямая A называется касательной к поверхности в некоторой точке , если она является касательной к какой-либо кривой, лежащей на этой поверхности.

Через точку проходит бесчисленное множество кривых и касательных, проходящих через точку , может быть вообще бесчисленное множество.

Определение: Точка называется обыкновенной поверхности , если по существуют в точке и хотя бы одна из них отлична от нуля, если же все три точки равны нулю или хотя бы одна и них не существует – то точку - особая.

Используя данное поле определить скалярное поле . Ясно, что заданное поле - это поверхность заданного уровня, причем .

Найдем производную этого поля по кривой .

Пусть - это касательный вектор в кривой к точке , тогда

при

т.е

1) производная по дуге не зависит от вида дуги, а зависит только от направления касательного вектора к дуге в точке ;

2) c другой стороны дуга принадлежит поверхности равного уровня =>по всей длине дуги вектор всем касательным, проведенным к поверхности в точке М, мы доказали теорему.

Теорема:

Все касательные прямые данной поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости (т.к ). Эту плоскость называют касательной плоскостью к поверхности (F).

Тогда уравнение касательной плоскости можно записать как уравнение плоскости, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором.

(1) - это уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .

Определение: Нормалью к поверхности называется прямая, проведенная к касательной плоскости в этой точке касания.

Уравнение нормали (уравнение прямой, проходящей через данную точку данном направляющей вектора).

(2)

В уравнение (1) и (2) значения частных производных

Вычислены в точке .