Полный дифференциал

Структура полного приращения функции в фиксированной точке

, где – находится между и .

- функция одной переменной , следовательно, применяем теорему Лагранжа.

,

где находится между и .

- функция одной переменной (теорема Лагранжа).

Считая частые производные непрерывными в

Аналогично .

Т.к и - это числа, то значит

, где и при , тогда структура полного приращения функции.

Тогда

- главная часть приращения, функция линейная относительно , то есть имеет вид и .

Полный дифференциал функции в точке .

т.е и - независимые переменные , .

Частные дифференциалы функции .

Также как и в случае функции с одной переменной полный дифференциал можно использовать для приблизительных вычислений.

Производная от сложной функции.

Полная производная.

Пусть задана сложная функция

т.е - это сложная функция от и .

Найдем частные производные и .

Пусть фиксированная точка, дадим переменной приращение , тогда функции и также получат приращение по переменной : и , а функция получит полное приращение относительно переменных и и и .

Т.е. и - частные производные сложной функции.

Частный случай:

т.е. - сложная функция от одной переменной. . Тогда имеем полную производную (если одна производная) .

Пример:

- полная производная.

Найдем

Пример: